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2.1.1合情推理(二)一、基础过关1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇＝________.2．下列推理正确的是________．(填序号)①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny；③把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay；④把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.4．在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，q1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是________．①b4＋b8b5＋b7；②b5＋b7b4＋b8；③b4＋b7b5＋b8；④b4＋b5b7＋b8.5．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G(x，y)的坐标公式x＝x1＋x2＋x33y＝y1＋y2＋y33(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体A—BCD的重心G(x，y，z)的公式为________．6．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有______________________．二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号)①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直；③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行；④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y2＝2px(p0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于M、N两点，l1的斜率为k，某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为(pk2＋p，pk)，请你写出弦MN的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S△PA′B′S△PAB＝PA′PA·PB′PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．答案1.12lr2.④3．①②④4．①5.x＝x1＋x2＋x3＋x44y＝y1＋y2＋y3＋y44z＝z1＋z2＋z3＋z446.T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为q1007．②8．①②③9．(pk2＋p，－pk)10.a3811.解类比S△PA′B′S△PAB＝PA′PA·PB′PB，有VP—A′B′C′VP—ABC＝PA′PA·PB′PB·PC′PC证明：如图：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.则h′h＝PC′PC，故VP—A′B′C′VP—ABC＝13·S△PA′B′·h′13SPAB·h＝PA′·PB′·h′PA·PB·h＝PA′·PB′·PC′PA·PB′·PC.12．解如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.13．解类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确.