初中数学竞赛辅导讲座19讲全套

-1-第一讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范1、数轴与大小例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2、将9998,19991998,9897,19981997这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个数cabab1,1,1的大小关系。分析：由点B在A右边，知b-a0，而A、B都在原点左边，故ab0,又c10,故要比较cabab1,1,1的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数a与b(ba)之间找出无数个有理数。提示：P=naba（n为大于是的自然数）注：P的表示方法不是唯一的。2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧例6、计算123…200020012002提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。-2-例7、计算1+234+5+678+9+…2000+2001+2002提示：仿例5，造零。结论：2003。例8、计算9999991999999个个个nnn提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n1。例9、计算)200213121()2001131211()200113121()2002131211(提示：字母代数，整体化：令200113121,2001131211BA，则例10、计算（1）100991321211；（2）100981421311提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）nmmnnm11；（2）111)1(1nnnn；（3）)11(1)(1mnnmmnn；（4）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn。例11计算n321132112111（n为自然数）例12、计算1+2+22+23+…+22000提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2SS=220011。例13、比较200022000164834221S与2的大小。提示：错项相减：计算S21。第二讲绝对值一、知识要点1、绝对值的代数意义；2、绝对值的几何意义：（1）|a|、（2）|a-b|；3、绝对值的性质：（1）|-a|=|a|,|a|0,|a|a；（2）|a|2=|a2|=a2；-3-（3）|ab|=|a||b|；（4）||||||baba（b0）；4、绝对值方程：（1）最简单的绝对值方程|x|=a的解：0000aaaax无解（2）解题方法：换元法，分类讨论法。二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；（3）分类讨论。三、例题示范例1已知a0，化简|2a-|a||。提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例2已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc0，求||||||cbabacacb的值。注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。例5已知：例6已知3x，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。例7已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。提示：1、根轴法；2、几何法。例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。提示：1、根轴法；2、几何法。-4-例9m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。结论：最小值为8。例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例12若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=||ab＞0，∴|b|＞1.同理可证|a|＞1.∴a、b都不在-1与1之间.例13某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？例14解方程（1）|3x-1|=8（2）||x-2|-1|=21（3）|3x-2|=x+4（4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.分析解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.第三讲一次方程（组）-5-一、基础知识1、方程的定义：含有未知数的等式。2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。4、字母系数的一元一次方程：ax=b。其解的情况：。，ba；，baabx，a无解时当解这任意数时当有唯一解时当0,00;05、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。二、例题示范例1、解方程1}8]6)432(51[71{91x例2、关于x的方程6232bkxakx中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总是1，求a、b的值。提示：用赋值法，对k赋以某一值后求之。例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。例4解关于x的方程1)1(2axxa.提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论例5k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？分析依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，本例的另一典型解法例7（1989年上海初一试题），方程并且abc≠0，那么x____-6-提示：1、去分母求解；2、将3改写为bbaacc。例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：96248224212262543214321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx确定3x4+2x5的值.说明：整体代换方法是一种重要的解题策略.例9解方程组)3(3)2(2)1(1mmzyxmzmyxmzymx提示：仿例8，注意就m讨论。例10如果方程组0253032myxmyx（1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m的值。提示：1、从（1）中解出x,y用m表示，再代入（2）求m；2、在（1）中用消元法消去m再与（2）联立求出x,y，再代入（1）求m。例11如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。提示：赋值法。例12解方程组332xzxzzyx。提示：引进新未知数第四讲列方程（组）解应用题一、知识要点1、列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、列方程解应用题要领：（1）善于将生活语言代数化；（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3）善于寻找数量间的等量关系。二、例题示范1、合理设立未知元例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后，-7-男生又走了45人，于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？提示：（1）直接设元（2）列方程组：例2在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？提示：（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：例4（1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？提示：用列表法分析数量关系。例5如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？提示：间接设元.设第一个星期五的日期为x，例6甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？提示：直接设元。例7某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：商品利润率=[（商品售价—商品进价）商品进价]100%。例8（1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共