《圆锥曲线新题型及定点问题分析》

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xyFQABlO高三冲刺讲义:《圆锥曲线新题型及定点问题分析》圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容合热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表,下面我们就着重研究这些2类问题;在圆锥曲线中,有一类曲线系方程,对其参数取值不同时,曲线本身的性质不变,或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量,有些与参数无关,这就构成了定值定点问题,她涵盖两类问题,一是懂曲线景观定点问题;二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中,有些几何量与参变数无关,即定值问题,这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值,然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。所以在圆锥曲线的综合性问题里,定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习,通常有两种处理方法:①从特殊人手,求出定点或定值,再证明这个点(值)与变量无关.②直接推理、计算,并在计算中消去变量,从而得到定点(定值).而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法,其中又包括:1、通过定义代入化简;2、通过平面几何知识或三角知识代入;3、通过韦达定理化简;下面我们就来介绍这些题型:题型一:通过代入化简得定值例1:已知),(00yxP为椭圆12222byax上的一点,其中21FF、为椭圆的左右焦点;求证:0101,xacaPFxacaPF。证明:020202222020202012)(xacaxacaxabbccxxycxPF同理得证:01xacaPF题型二:通过平面几何知识化简得到例2:已知椭圆E的方程为22143xy,右焦点为F,直线l与圆223xy相切于点Q,且Q在y轴的右侧,设直线l交椭圆E于不同两点1122(,),(,)AxyBxy.(1)若直线l的倾斜角为4,求直线l的方程;(2)求证:||||AFAQ||||BFBQ.提示:用代入法转化AF,211433xyAQ=22rOA;从而化简出AQAF是一个常值。解](1)设直线l的方程为yxm,则有||32m,得6m又切点Q在y轴的右侧,所以6m,所以直线l的方程为6yx(2)因为AOQ为直角三角形,所以222211||3AQOAOQxy[来K]又2211143xy得11||2AQx2211||(1)AFxy又2211143xy得11||22AFx所以||||2AFAQ,同理可得||||2BFBQ所以||||AFAQ||||BFBQ题型三:通过定义化简得到:例3:某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC、BD是过抛物线焦点F的两条弦,且其焦点)1,0(F,0BDAC,点E为y轴上一点,记EFA,其中为锐角.(1)求抛物线方程;(2)求证:2sin)1(cos2AF.(3)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求的大小?第(3)问提示:2sin)1(cos2AF,2cos)sin1(2DF;想想BF和DF如何参加他们也可以写出来。之后面积问题就转化为三角求最值问题了。解析:(1)由抛物线焦点)1,0(F得,抛物线方程为yx42(2)设mAF,则点)1cos,sin(mmA所以,)cos1(4)sin(2mm,既04cos4sin22mm解得2sin)1(cos2AF;(3)同理:2cos)sin1(2BF,2cos)sin1(2DF,2sin)cos1(2CF“蝴蝶形图案”的面积2)cos(sincossin442121DFCFBFAFSSSCFDAFB令21,0,cossintt,,21t则121141422tttS,21t时,即4“蝴蝶形图案”的面积为8题型四:通过韦达化简得到例4、已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,且经过(2,1)(22,0)MN、两点,P是E上的动点.(1)求OP的最大值;(2)若平行于OM的直线l在y轴上的截距为(0)bb,直线l交椭圆E于两个不同点AB、,求证:直线MA与直线MB的倾斜角互补.[解](1)设椭圆E的方程为221(0,0,)mxnymnmn将(2,1),(22,0)MN代入椭圆E的方程,得4181mnm………2分解得11,82mn,所以椭圆E的方程为22182xy…………2分设点P的坐标为00,)xy(,则22200OPxy.又00(,)Pxy是E上的动点,所以2200182xy,得220084xy,代入上式得222200083OPxyy,02,2y故00y时,maxOP22.OP的最大值为22.(2)因为直线l平行于OM,且在y轴上的截距为b,又12OMk,所以直线l的方程为12yxb.由2212182yxbxy得222240xbxb设11(,)Axy、22(,)Bxy,则212122,24xxbxxb.又1111,2ykx2221,2ykx故1212121122yykkxx122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)yxyxxx.又112211,22yxbyxb,所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22xbxxbx21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0xxbxxbbbbb故120kk.所以直线MA与直线MB的倾斜角互补.题型五、通过类比结论得到例5:椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点为(2,0)F,且椭圆T过点(2,2)E.若ABC的三个顶点都在椭圆T上,设三条边的中点分别为PNM、、.(1)求椭圆T的方程;(2)设ABC的三条边所在直线的斜率分别为321kkk、、,且0,1,2,3iki.若直线OPONOM、、的斜率之和为0,求证:123111kkk为定值.解:(1)设椭圆T的方程为22221xyab,由题意知:左焦点为'(2,0)F所以'2||||aEFEF232,解得22a,2b.故椭圆T的方程为22184xy.(方法2、待定系数法)(2)设112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy,112233(,),(,),(,)MstNstPst,由:221128xy,222228xy,两式相减,得到12121212()()2()()0xxxxyyyy所以121211121211122yyxxskxxyyt,即11112tks,OxyF同理22212tks,33312tks所以3121231231112()tttkkksss,又因为直线,,OMONOP的斜率之和为0,所以1231110kkk方法2、(可参照方法1给分)设直线AB:111()ytkxs,代入椭圆2228xy,得到22211111111(12)4()2()80kxtkskxtks111112214()12tkskxxk12s,化简得11112skt(以下略)题型六:其他综合问题例6:已知抛物线C:pxy22)0(p,直线l交此抛物线于不同的两个点),(11yxA、),(22yxB.(1)当直线l过点)0,(pM时,证明21yy为定值;(2)当pyy21时,直线l是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)如果直线l过点)0,(pM,过点M再作一条与直线l垂直的直线l交抛物线C于两个不同点D、E.设线段AB的中点为P,线段DE的中点为Q,记线段PQ的中点为N.问是否存在一条直线和一个定点,使得点N到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.答案:(1)2212pyy;(2))0,21(.(3)存在直线815px,点)0,817(p,点N到它们的距离相等.例7:在平面直角坐标系xOy中,方向向量为),1(kd的直线l经过椭圆191822yx的右焦点F,:与椭圆相交于A、B两点(1)若点A在x轴的上方,且||||OFOA,求直线l的方程;(2)若0k,)0,6(P且△PAB的面积为6,求k的值;(3)当k(0k)变化时,是否存在一点)0,(0xC,使得直线AC和BC的斜率之和为0,若存在,求出0x的值;若不存在,请说明理由.答案:(1)03yx;(2)1k;(3)存在一点)0,6(。例8:动圆C过定点,02pF且与直线2px相切,其中0P.设圆心C的轨迹的方程为(,)0Fxy.(1)求(,)0Fxy;(2)曲线上的一定点00,pxy0(0)y方向向量0(,)dyp的直线l(不过点P)与曲线交于A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为PAk、PBk,计算PAPBkk;(3)曲线上的两个定点000(,)Pxy、''000(,)Qxy分别过点0P、0Q做倾斜角互补的两条直线0PM、0QN分别与曲线交于M、N两点,求证直线MN的斜率为定值.答案:(1)022ppxy;(2)02020101xxyyxxyykkBPAP=pypyyypypyyy2222202202202101=020122yypyyp=))(()2(20201021yyyyyyyp=0.(3)002yypkMN例:9:已知椭圆C的方程为22212xya(0)a,其焦点在x轴上,点Q27(,)22为椭圆上一点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)设动点P00(,)xy满足2OPOMON,其中M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为12,求证:22002xy为定值;(3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点,AB,使得PAPB为定值?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.答案:(1)12422yx;(2)2212212020)2(2)2(2yyxxyx21212222212184)2(4)2(yyxxyxyx)2(4202121yyxx20(定值)(3)存在点A(0,10)、B(0,10),使得||||PBPA=54(定值)例10:设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F,经过点F的动直线l交抛物线C于点11(,)Axy,22(,)Bxy且124yy.(1)求抛物线C的方程;(2)若2()OEOAOB(O为坐标原点),且点E在抛物线C上,求直线l倾斜角;(3)若点M是抛物线C的准线上的一点,直线,,MFMAMB的斜率分别为012,,kkk.求证:当0k为定值时,12kk也为定值.答案:(1)24yx.(2)直线l的倾斜角为arctan2或πarctan2.(3)012MMMyykx,可得02Myk,由(2)知124,yya又124yy,∴1020102012121222221122ykykykykkkxxayay120121202121222()2()82()4ayykayyyykayyayy22000022288888(1)24844(1)akaakkakaaa,又0k为定值,所以12kk也为定值.例11:已知双曲线C的中心在原点,1,0D是它的一个顶点,d(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程;(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