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§7.4几种紧致性以及其间的关系本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间中的一个子集A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l）A是一个有界闭集；（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了．不难发现这四条中以惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（3）和（4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下条件（5）作为讨论的中间站．（5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．定义7.4.l设X是一个拓扑空间．如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．定理7.4.1每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理7.4.2每一个Lindeloff的可数紧致空间都是紧致空间．定义7.4.2设X是一个拓扑空间．如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间．定理7.4.3每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于每一个a∈A，由于a不是A的凝聚点，所以存在a的一个开邻域使得∩A={a}．于是集族{|a∈A}∪{}是X的一个开覆盖．由于X是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为{}由于与A无交，所以{}必定覆盖A．因此，A=()∩A={a1,a2,…an}是一个有限集．这是一个矛盾．定义7.4.3设是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：对于每一个i∈Z+成立，即则称序列是一个下降序列．在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．引理7.4.4设X是一个拓扑空间．则拓扑空间X是一个可数紧致空间当且仅当由X中任何一个非空闭集下降序列，有非空的交，即证明设可数紧致空间X中的非空闭集下降序列使得于是是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{}由此可得这是一个矛盾．另一方面，设拓扑空间X中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如果X不是一个可数紧致空间，则X有一个可数开覆盖，设为{}，没有有限子覆盖．对于每一个i∈Z+，令则{}也是X的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：因此是一个非空闭集下降序列，所以．由此可见．也就是说{}不是X的一个覆盖，这是一个矛盾．定理7.4.5每一个列紧的空间都是可数紧致空间．证明设X是一个列紧的空间．如果X不是一个可数紧致空间，则根据引理7.4.4，X中有一个非空闭集下降序列,使得在每一个中选取一点，并且考虑集合A={}如果A是一个有限集，则必有一点x∈A和一个正整数的严格递增序列n1，n2，…使得于是对于任何i∈Z+有x∈．这是因为，于是x∈，这与反证假设矛盾．设A是一个无限集．由于X是一个列紧空间，所以A有一个凝聚点，设为y．由于X是一个空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个i∈Z+，点y也是集合的一个凝聚点；又由于．这也与反证假定矛盾．定义7.4.4设X是一个拓扑空间．如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称拓扑空间X是一个序列紧致空间．定理7.4.6每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．证明设X是一个序列紧致空间，{}是X中的一个非空闭集下降序列．在每．对于每一个i∈Z+，．根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间．定理7.4.7每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．对于每一个i∈Z+，令和．于是是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4，我们有．由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8，在点x处有一个可数邻域基{}满足条件：对于任意j∈Z+成立．令对于每一个i＞l，令,于是是一个严格递增的正整数序列．并且对于每一个i∈Z+成立．我们来证明序列{}的子序列{}收敛于x：设U是x的一个邻域．存在某一个k∈Z+,使得，于是当i＞k时我们有根据本节中的各个定理，我们可以得到图表7.2．根据这个表立即可以知：推论7.4.8设X是一个满足第二可数性公理的空间，A是X的一个子集．则下列条件等价：（l）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（2）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个序列都有子序列收敛于A中的点；（4）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中．特别，对于n维欧氏空间的子集以上推论成立，并且推论中的每一个条件都等价于A是一个有界闭集．作业:P2011