《实变函数》考试试卷(B卷)及参考答案

2014年《实变函数》考试试卷（B卷）班别：学号：姓名：成绩：一、填空题（每空3分，共21分）1.设{nA}是一个集列，且...321AAA，则nnAlim1mnA。2.设A=（0，1），B为全体实数R，则A与B的大小关系是BA。3.nRE，则E为可测集的卡氏条件是：nRT，有Tm*)()(**CETmETm。4.设{iS}是一列互不相交的可测集，则1iiS也是可测集，且有1)(iiSmiSm*。5.直线上的闭集F或是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不交的开集所得到的集。6.设E是[0，1]中所有无理数点组成的集合，则mE0。7.设]2,1[nAn（n=1,2,…），则nnAlim]2,0(。二、计算题（每题15分，共45分）1．设2121(0,),(0,)nnAAnn（n=1,2,3,…），求出集列{nA}的上限集和下限集。解：当n时，12nA，),0(2nA。),,0(x必存在N，使得,Nx因此，当Nn时，nNx0，即nAx2，nnAxlim，所以),0(limAnnnAlim，若有nnAxlim，则存在N，使任意Nn时，有nAx,因此若Nn12时，12nAx，即nx10，令n得00x，矛盾。2．建立一个从[a，b]到[c，d]（ab，cd）的一一映射。解：caxabcdy)(3．设2}0,10|),{(RyxyxA，求AAAA,,,0。解：0A，}0,10|),{(yxyxA}0,10|),{(yxyxA}0,10|),{(yxyxA三、证明题（共34分）1．若0*Em，则E可测。（17分）证明：T，)()(cETTET，所以原问题有)()(***TEmTEmTmc，又因为ETE，所以0)(**EmTEm,TETc从而TmETmC*)(*，从而)()(***TEmTEmTmc由以上例子，知道Tm*)()(**CETmETm，从而E可测。2．证明R中的可数集A的外测度为0（17分）证明：因为A为可数集，所以可设为},,,{321rrrA。对任给0，令,3,2,1),2,2(11irrIiiiii，则iI，1*infiiIAm，从而*0mA。