《积分变换》期中测试题

1《积分变换》期中测试题一.填空题和选择题（30分）（注：选择题是多项选择）1．若函数)(tf在),(上满足条件：1）；2），则在连续点t处，有deFtftj)(21)(。其中)(F；在间断点t处，)(tf应以来代替。此结论称为傅氏积分存在定理。2.函数)2()2()()(21)(atatatattf的傅氏变换是。3．关于函数，下列结论正确的是。（A）001)(ttt；（B）1)(dtt；（C）对于无穷次可微函数)(tf，有)0()()(fdttft（D）)(t与常数1构成了一个傅氏变换对。4.已知202()32tftt，则[()]Lft=。5.当ab时，反演积分1()()sLsasb=。6.当(,)t时，两函数1()ft与()tft的卷积12()*()ftft=。特别地，当限定12()()0ftft(t0)时，两函数1()ft与()tft的卷积又可定义为12()*()ftft=。2二．计算题（48分）7.求函数||()tfte的傅氏变换，并由此证明0||2cos22tted)0(8.求函数的卷积)(*)(21tftf，其中21()()fttut，2212()0tft，，其他。9.a)求kttfsin)(（k为实数）的拉氏变换；b)若[()]()LftFs，证明：()()sftLFsdst；c)求sinktLt。10.已知()()()ttfteteut(0)，求[()]Lft。3三．证明题（10分）11.已知tdssftg)()(，0010)(tttu，1）验证)(*)()(tutftg；2）验证u(t)的傅氏变换为)(1j；3）求)(tg的傅氏变换。12.a)证明以下卷积定理：假定1()ft,2()ft满足Laplace变换存在定理的条件，且[()](),1,2iiLftFsi，则有1212[()*()]()()LftftFsFs，b)已知[()]()LftFs，利用卷积定理证明0()[()]tFsLftdts4四．应用题（12分）13.设函数)(tf以T为周期，即)0)(()(ttfTtf，且它在一个周期上还是分段连续的，试证明：dtetfetfLTstsT0)(11)]([(Re(s)0)并计算如图所示的周期三角波的Laplace变换（周期为2b）f(t)bOb2b3b4bt14.a)已知[()]()LftFs，验证：['()]()(0)LftsFsf；b)利用结论a)，求方程2tdxxedt满足初始条件(0)0x的解；或P109例4