《空间向量与立体几何小结》导学案

数学选修2-1编号sx-2011-009《空间向量与立体几何小结》导学案撰稿：魏华审核：高二数学组姓名：班级：组别：组名：【学习目标】（1）熟练掌握空间向量的四种运算（包括坐标形式）（2）能灵活选择向量法、坐标法解决立体几何问题。【重点难点】▲重点：利用向量解决立体几何问题▲难点：法向量的确定，角的转化【学法指导】1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2．a·b＝0⇔a⊥b是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3．公式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别)，再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．4．直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．【学习过程】一：知识梳理1．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．(4)线面垂直①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题2．运用空间向量求空间角(1)求两异面直线所成角利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0，π2，故实质上应有：cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ＝|cosφ|.(3)求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．3．运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．(1)点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．(2)点与面的距离点与面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．(3)两异面直线的距离转化为点与面的距离来求解。问题一：空间非零向量a、b，a·b＝，a⊥b⇔；|a|2＝；a∥b⇔存在实数λ使.问题二：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝.|a|＝(2)cos〈a，b〉＝(3)a⊥b⇔(4)a∥b⇔问题三：进行空间向量的线性运算，首先要选取适当的基底，选取基底的一般原则是什么？二：题型探究一、空间向量的概念与计算空间向量中的所有概念都是严密、精练、准确的。空间向量有关概念的辨析题往往改变、缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况，所以对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．[例1]给出下列命题：①若AB→＝CD→，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；②若a·b0，〈a，b〉是钝角；③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．其中错误命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]①错误，如在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB→＝A1B1→，但线段AB与A1B1不重合；②错误，a·b0即cos〈a，b〉0⇒π2a，b≤π，而钝角的取值范围是(π2，π)；③错误，当λ＝0时，λa＝0不能作为直线l的方向向量；④错误，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中令AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则它们两两共面，但显然AB→，AA1→是不共面的．二、空间向量的线性运算向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理．[例2]已知非零向量e1，e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，AC→＝2e1＋8e2，AD→＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面[证明]令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋υ(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3υ)e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0∵e1，e2不共线，∴{易知λ＝－5μ＝1υ＝1是其中一组解，则∴A、B、C、D共面．问题四：已知空间四边形OABC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MGGN＝2，设OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x、y、z的值分别是()A．x＝13，y＝13，z＝13B．x＝13，y＝13，z＝16C．x＝13，y＝16，z＝13D．x＝16，y＝13，z＝13三、利用空间向量解决平行与垂直问题利用向量可以解决空间中的平行与垂直关系，是常见的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系使用向量会变得很简捷，将几何证明与计算转化为纯代数运算，也使问题得以简化．[例3]如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.(1)求证：直线EF∥AC1；(2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体．[解析](1)证明：以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如上图所示的空间直角坐标系．设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(2a3，2b3，c)，F(a，b3，2c3)．从而FE→＝(，，)，AC1→＝(－a，b，c)，∴FE→＝AC1→.又FE与AC1不共线，所以直线EF∥AC1.(2)∵D1(0,0，c)，B1(a，b，c)，A1(a,0，c)，B(a，b,0)，∴D1B1→＝(a，b,0)，A1B→＝(，，)．∵EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，∴FE→·D1B1→＝0，FE→·A1B→＝0，即13(－a，b，c)·(a，b，0)＝013(－a，b，c)·(0，b，－c)＝0，化简得所以该长方体为正方体．四、利用空间向量求角度与距离问题利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点．解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量，并用它们表示空间中的角及距离，所有空间距离问题用向量求时，有着相同的表现形式．应加强理解与掌握，求角时，要弄清向量夹角与所求角的关系．[例4]如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平面ABCD，，且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．(1)求证MN⊥CD；(2)求二面角M－BN－C的大小的余弦值．[解析](1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，C(a，a,0)，M(a2，0，a2)，N(a2，a2，0)∴MN→＝(0，a2，－a2)，CD→＝(－a,0,0)，MN→·CD→＝0，∴MN⊥CD.(2)解：NP→＝(－a2，－a2，a)，∴NC→＝(a2，a2，0)，∴NC→·NP→＝，又|NC→|＝，|NP→|＝，∴cos〈NC→，NP→〉＝＝显然，二面角M－BN－C的大小为钝角。因此，二面角M－BN－C的大小的余弦值为.问题五：上题的第二问，AP⃗⃗⃗⃗⃗是平面CBN的法向量，你能求出平面MBN的法向量进而求出第二问的答案吗？【基础达标】完成课本P117～P118复习参考题A组第1、4、5、7、8题【课堂小结】【当堂检测】完成课本P119复习参考题B组第3题【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是