《第1章勾股定理》2010年拓展练习

《第1章勾股定理》2010年拓展练习菁优网©2010-2013菁优网《第1章勾股定理》2010年拓展练习一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1．（4分）（1999•广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）A．4B．5C．2D．2．（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对3．（4分）如图，过△ABC的顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（）A．10B．14C．16D．24二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）4．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是_________°．5．（5分）（1997•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是_________°．菁优网©2010-2013菁优网6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_________cm2．7．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于_________．8．（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF=_________cm2．9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=_________．10．（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，那么另一条直角边的长是_________．三、解答题（共4小题，满分53分）11．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．菁优网©2010-2013菁优网12．（13分）如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．13．（14分）如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．14．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．菁优网©2010-2013菁优网《第1章勾股定理》2010年拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1．（4分）（1999•广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）A．4B．5C．2D．考点：解直角三角形．744438专题：计算题；压轴题．分析：分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．解答：解：如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°．在△CED中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边一半），∴BE=BC+CE=8，在△AEB中，AE=2AB（30°锐角所对直角边等于斜边一半）∴AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，3AB2=64，解得：AB=．故选D．点评：本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算．2．（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对考点：三角形．744438分析：如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．解答：解：如图：（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．所以三角形的形状不能确定．故选D．菁优网©2010-2013菁优网点评：解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．3．（4分）如图，过△ABC的顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（）A．10B．14C．16D．24考点：勾股定理；平行四边形的性质．744438分析：BE为∠ABC的角平分线，∠EBC=∠ABE，CD为∠ACB的角平分线，则∠ACD=∠DCB，因为BC∥DE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度．解答：解：由分析得：∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；根据平行线的性质得：∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；所以∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，则AD=AC，AB=AE；所以DE=AD+AE=AB+AC=6+8=14；故选B．点评：本题考点：平行四边形的性质．两直线平行，则内错角相等．然后根据角度相等可得出△ADC和ABE为等腰三角形．所以DE的长度等于AB和AC的和．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）4．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是75°．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．744438专题：计算题．分析：根据三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数．解答：解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；菁优网©2010-2013菁优网∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°﹣15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故答案为：75．点评：此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．5．（5分）（1997•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是135°．考点：勾股定理的逆定理．744438分析：由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数，再根据已知可求得AC：CD：DA=2：3：1，从而发现其符合勾股定理的逆定理，即可得到∠ADC=90°，从而不难求得∠DAB的度数．解答：解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB：BC：AC=2：2：2=1：1：，∴AC：CD：DA=2：3：1，∵AC2+AD2=CD2∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解及运用能力．6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是144cm2．菁优网©2010-2013菁优网考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．744438分析：连接AC，根据勾股定理可求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理得，△ADC也是直角三角形，分别求得两个三角形的面积即可得到四边形ABCD的面积．解答：解：连接AC∵AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°∴AC=10cm∵CD=24cm，DA=26cm∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°∴S△ABC=×6×8=24cm2S△ACD=×10×24=120cm2∴四边形ABCD的面积=24+120=144cm2点评：此题主要考查学生对勾股定理逆定理及三角形面积的理解及运用能力．7．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．考点：勾股定理．744438分析：可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算．解答：解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．菁优网©2010-2013菁优网点评：此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要．8．（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF=cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．744438分析：由翻折的性质知D′F=DF，CE=AE，且CE=BC﹣BE，故由勾股定理求得BE的长，再证得△ABE≌△AD′F，有AF=AD﹣FD，则S△AEF=AF•AB．解答：解：由题意知，D′F=DF，CE=AE，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，AB2+BE2=（BC﹣BE）2，即32+BE2=（4﹣BE）2，解得：BE=，∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°，∴∠D′AF=∠BAE又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB∴△D′AF≌△BAE∴FD=D′F=BE=∴AF=AD﹣FD=4﹣=∴S△AEF=AF•AB=××3=．故本题答案为：．点评：本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理．9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=13．菁优网©2010-2013菁优网考点：勾股定理．744438分析：过P做A1B1平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的长，再计算AP+PB．解答：解：方法一：如图：∵AD=AA1﹣A1D=17﹣16=1；BC=B1B﹣B1C=20﹣16=4；又∵∠A=∠B∴tan∠A=tan∠B∴∴CP=4DP∴CP=，DP=．∴AP=，BP==．故AP+PB==13．方法二：过p点作A1B1平行线，分别交AA1于D点，交BB1于F点，延长BP交AA1于c点，过C点作CG垂直于BB1于G点．∵AA1，BB1分别垂直于A1B1∴AA1∥BB1又∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACP，∴三角形ACP为等腰三角形，AP=CP∴AP+BP=CP+PB=CB∵FD∥A1B1，∴FD垂直于AA1，∴D为AC的中点又∵PP1=16，AA1=17，BB1=20∴AD=DC=FG=1，BF=4∴BG=BF+FG=4+1=5∴在直角三角形CGB中CG=A1B1=12BG=5CB2=CG2+BG2=122+52∴CB=13=AP+PB菁优网©2010-2013菁优网点评：考查了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用．10．（5分）如图，一个直