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《第2章勾股定理与平方根》2010年近湖中学单元综合过关检测题A卷菁优网©2010-2014菁优网《第2章勾股定理与平方根》2010年近湖中学单元综合过关检测题A卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10②13，5，12③1，2，3④9，40，41⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2B．3C．4D．52．（3分）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：13．（3分）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A．B．3C．+2D．4．（3分）如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以达到建筑物的高度为（）A．10米B．11米C．12米D．13米5．（3分）放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红和小颖家的距离为（）A．600mB．800mC．1000mD．不能确定6．（3分）（2005•海南）如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A．l1B．l2C．l3D．l47．（3分）（2006•汾阳市）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）菁优网©2010-2014菁优网A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定8．（3分）在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（）A．5，4，3B．13，12，5C．10，8，6D．26，24，109．（3分）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1B．C．D．210．（3分）直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182B．183C．184D．185二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）根据下图中的数据，确定A=_________，B=_________，x=_________．12．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_________．13．（3分）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_________．14．（3分）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_________米．15．（3分）如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边的长度是_________．16．（3分）在△ABC中，AB=8cm，BC=15cm，要使∠B=90°，则AC的长必为_________cm．17．（3分）（2009•安顺）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_________．菁优网©2010-2014菁优网18．（3分）甲，乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距_________海里．三、解答题（共6小题，满分66分）19．（10分）如图，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．20．（10分）从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21．（10分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？22．（12分）（2003•烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）23．（12分）（2003•西城区模拟）清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．菁优网©2010-2014菁优网24．（12分）学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统．在对系统进行测试中（如图），小明从路口A处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号．若小明步行速度为39米/分，小华步行速度为52米/分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．（1）你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限）（2）通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法．菁优网©2010-2014菁优网《第2章勾股定理与平方根》2010年近湖中学单元综合过关检测题A卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10②13，5，12③1，2，3④9，40，41⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2B．3C．4D．5考点：勾股定理的逆定理．4723708分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．解答：解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．（3分）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：1考点：勾股定理．4723708分析：根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．解答：解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a，b=a，∴三条边的比是1：：2．故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．3．（3分）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A．B．3C．+2D．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．4723708分析：根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．解答：解：如图所示，Rt△ABC中，∠B=60°，AB=1，则∠A=90°﹣60°=30°，故BC=AB=×1=，AC===，故此三角形的周长是．菁优网©2010-2014菁优网故选D．点评：熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理．4．（3分）如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以达到建筑物的高度为（）A．10米B．11米C．12米D．13米考点：勾股定理的应用．4723708分析：在梯子与建筑物构成的直角三角形中，梯子的长即为斜边的长，梯子底端离建筑物的距离为直角边的长，由勾股定理即可求得梯子可以达到的建筑物的高度．解答：解：如图；梯子AC长是15米，梯子底端离建筑物的距离AB长为9米；在Rt△ABC中，AC=15米，AB=9米；根据勾股定理，得BC===12米；故选C．点评：此题主要考查勾股定理的应用，正确地获取题目中的信息是解答此类题的关键．5．（3分）放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红和小颖家的距离为（）A．600mB．800mC．1000mD．不能确定考点：勾股定理的应用；方向角．4723708分析：两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．解答：解：OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB==1000m．故选C．菁优网©2010-2014菁优网点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．6．（3分）（2005•海南）如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A．l1B．l2C．l3D．l4考点：解直角三角形的应用．4723708专题：应用题；压轴题．分析：根据30度直角边等于斜边一半，高是5，然后用勾股来算；或根据正弦函数等于对边比斜边即可解答．解答：解：方法1：∠ACD=90°﹣60°=30°，设拉线AC=x，则AD=x，则．x2=（x）2+52，AC=x=≈5.77，AC=x=﹣（不合题意舍去）．方法2：如图CD=5米，∠A=60°∴AC===≈5.77米所以最好选用l2故选B．点评：此题主要考查三角函数的运用能力．7．（3分）（2006•汾阳市）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定菁优网©2010-2014菁优网考点：勾股定理．4723708专题：压轴题．分析：因为是直角三角形，所以可以直接运用勾股定理，然后运用圆的面积公式来求解．解答：解：∵△ABC为Rt△，∴AB2=AC2+BC2又∵∴S1=π=π•，=（）=π•=S1∴S1=S2，故选A．点评：此题考查的是勾股定理的运用，三角形的直角边之和等于第三边，而且圆的面积公式中R2正好与勾股定理中的平方有联系，因此可将二者结合起来看．8．（3分）在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（）A．5，4，3B．13，12，5C．10，8，6D．26，24，10考点：勾股定理．4723708分析：由斜边与一直角边比是13：5，设斜边是13k，则直角边是5k．根据勾股定理，得另一条直角边是12k．根据题意，求得三边的长即可．解答：解：设斜边是13k，直角边是5k，根据勾股定理，得另一条直角边是12k．根据题意，得：13k+5k