《线性代数》的主要知识点

1《线性代数》的主要知识点第一部分行列式概念：1．n阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；②每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列；③每一项的符号为（列）行）()1(2．元素的余子式以及代数余子式ijjiijM)1(A3．行列式的性质计算方法：1．对角线法则2．行列式的按行（列）展开(另有异乘变零定理)第二部分矩阵1．矩阵的乘积注意：①不满足交换率（一般情况下BAAB）②不满足消去率（由AB=AC不能得出B=C）③由AB=0不能得出A=0或B=0④若AB=BA，则称A与B是可换矩阵2．矩阵的转置满足的法则：TTTBA)BA(，TTTTTABABkAkA)(,)(3．矩阵的多项式设nnxaxaax10)(，A为n阶方阵，则nnAaAaEaA10)(称为A的n次多项式。对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果1PPA，则nnAaAaEaA10)(11110PPaPPaEPPann=1)(PP（2）若),,(21naaadiag，则))(),(),(()(21naaadiag4．逆矩阵：n阶矩阵A,B，若EBAAB，则A,B互为逆矩阵。n阶矩阵A可逆0A；nAr)(（或表示为nAR)(）即A为满秩矩阵；A与E等价；A可以表示成若干个初等矩阵的乘积；A的列（行）向量组线性无关；2A的所有的特征值均不等于零求法：①伴随矩阵法：*11AAA②初等变换法：1,,AEEA初等行变换或1AEEA初等列变换，E是单位矩阵性质：（1）矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的（2）设A是n阶矩阵，则有下列结论①若A可逆，则1A也可逆，且AA11)(②若A可逆，则TA也可逆，且TTAA)()(11③若A可逆，数0k，则kA可逆，且111)(AkkA④若BA.为同阶矩阵且均可逆，则BA.也可逆，且111)(ABAB5．方阵A的行列式：满足下述运算规律（设BA,为n阶方阵，为数）①AAT②AAn③BAAB6．伴随矩阵：行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下的矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*，称为矩阵A的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）伴随矩阵具有性质：EAAAAA**常见的公式有：①1*nAA②1*AAA③AAA1)(1*④1*)(A*1)(A等7．初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：（1）),(jiE（互换E的第i、j列）（2）))((kiE（E的第i行乘以不为零的数k）（3）))((kijE（把E的j行的k倍加到第i行上）初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且),(),(1jiEjiE、)]([)]([11kiEkiE、)](,[)]([1kjiEkijE；3初等矩阵的行列式分别是-1，k,1。8．矩阵的初等变换：初等行变换:下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行；记为jirr对换第ji与行②以数0k乘某一行中的所有元素；记为kri第i行乘k③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去；记为jikrr第j行k倍加到第i行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个nm矩阵，则①对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；②对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵9．矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。且若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价；若仅经过初等列变换，就称A与B列等价。设BA,为nm矩阵①A与B行等价m阶可逆矩阵P，使得BPA②A与B列等价n阶可逆矩阵Q，使得BAQ③BA,等价m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得BPAQ利用矩阵的初等变换解矩阵方程BAX，BAX1，可以：)(BA初等行变换)(1BAEBXA，1BAX，可以：)(TTBA初等行变换)(TXE，从而解出X。10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为）（或AR)A(r求法：A初等行变换行阶梯形矩阵B，）（AR=B的非零行的行数。相关公式：①若A是nm矩阵，则},min{)(0mnAR②)()(ARART③BA~)(AR=)(BR④若设A为nm矩阵，nmQP,均为可逆矩阵，则)(Ar)(PAQr⑤，则)()(),()}(),(max{BRARBARBRAR⑥若BA,均为nm矩阵，则)()()(BRARBAR4⑦))(),(min()(BRARABR⑧若OBAtnnm，则nBRAR)()(11．分块矩阵：主要记住：（1）分块对角矩阵：设.A为n阶方程，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即sAAAA21.其行列式与逆矩阵具有下述性质：①siAAAA2②若),,2,1(,0siAi，则0A，故A可逆，并有:112111.sAAAA③设A是m阶方阵,B是n阶方阵,,且bBaA,,则abOBAOmn1另有：（2）设有分块矩阵BOCAH，其中BA,分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵H可逆且11111BOCBAAH（3）设有分块矩阵BCOAH，其中BA,分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵H可逆且11111BCABOAH第三部分向量组1．线性组合：给定向量组A：m,,,21，对于任意一组实数，称向量mmkkk2211为向量组的一个线性组合，mkkk,,,21称为该线性组合的系数。给定向量组A：m,,,21和向量，如果存在一组数m,,,21，使得=mm2211则向量是向量组A的线性组合，也称向量可以由向量组A线性表示向量能由向量组A线性表示方程组mmxxx2211有解5矩阵A=（m,,,21）的秩等于矩阵B=(m,,,21，)的秩2．等价：设有两个向量组A：m,,,21及B：s,,,21，若B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为：（m,,,21）≌（s,,,21）主要结论：（1）矩阵A与B若行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价；若矩阵A与B若列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价（2）向量组B：lbbb,,21能由向量组A:maaa,,21线性表示存在矩阵K，使得B=AK方程AX=B有解),()(BARAR（3）向量组A:maaa,,21与向量组B：lbbb,,21等价),()()(BARBRAR，其中，A,B是向量组构成的矩阵（4）向量组B：lbbb,,21能由向量组A:maaa,,21线性表示，则R(lbbb,,21)R(maaa,,21)3．线性相关与线性无关对向量组A：m,,,21，如果存在不全为零的一组数mkkk,,,21，使得：02211mmkkk则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关，也就是说当且仅当mkkk,,,21都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则m,,,21线性无关。主要结论：（1）向量组m,,,21线性相关齐次线性方程组有非零解它所构成的矩阵A=（m,,,21）的秩小于m；同样线性无关仅有零解mAR)(（2）n个n维向量naaa112111,,,，),,,(222212naaa),,(21nnnnnaaa线性相关行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa，线性无关行列式0（3）m个n维向量，当维数mn时，向量组一定线性相关。特别地，1n个n维向量必线性相关；6（4）若向量组A：m,,,21线性相关向量组B:121,,,,mm一定线性相关；反之，向量组B若线性无关向量组A线性无关或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；（5）若向量组A：m,,,21线性无关，而向量组B:m,,,21,线性相关必能由向量组A线性表示，且表达式唯一（6）若r维向量组m,,,21线性无关，则在每一个向量上再添加rn个分量所得到的n维向量组11211,,,m也是线性无关的（7）向量组A：m,,,21线性相关其中至少有一个向量是其余1m个向量的线性组合；线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示。（8）如果向量组A：s,,,21可由向量组B:t,,,21线性表示，并且ts向量组A：s,,,21线性相关；（逆否命题:A：s,,,21线性无关且可由向量组Bt,,,21线性表示ts）4．最大（极大）线性无关组：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量r,,,21，满足（1）向量组0A：r,,,21线性无关；（2）向量组A中任意1r个向量（如果A中有1r个向量的话）都是线性相关的那么称r,,,21是向量组A的一个最大（极大）线性无关部分组条件（2）也可以改为：向量组A中任意一个向量都可以由r,,,21线性表示，结论:①一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个②一个向量组的极大无关组不是唯一的③向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的④若向量组s,,,21线性无关，其极大无关组就是其本身⑤任一向量组和它的极大无关组等价⑥向量组s,,,21中任意两个极大无关组等价5．向量组的秩：向量组s,,,21中极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩。记为：r（s,,,21）主要结论：（1）如果向量组s,,,21与向量组t,,,21等价，则它们的秩相等7（2）如果向量组s,,,21可由向量组t,,,21线性表示，且rrs),,,(21，prt),,,(21，则pr（3）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩6．向量空间：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称V为向量空间。（1）设,是两个已知的n维向量，则集合RxV,是一个向量空间。称为由向量,所生成的向量空间。（2）向量空间的基---设V为向量空间，如果r个向量Vr,,,21，且满足①r,,,21线性无关；②V中任何一个向量都可以由r,,,21线性表示则称向量组r,,,21是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。（3）在3R中取定一个基321,,aaa，再取一个新基321,,bbb，设A（321,,aaa），B（321,,bbb），则P=1AB称为从旧基到新基的过渡矩阵7．向量的内积：(1)设有n维向量nxxxx21，nyyyy21，令nxyxyxyx2211,，yx,称为向量x与y的内积.