《线性代数概率统计》期末考试试卷及详细答案二

1《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A,B,C,D的被选项,其中只有一项是正确的,将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------;(A)G=H；(B)G=0；(C)H=kG；(D)G=kH。2．在行列式G中，Aij是元素aij的代数余子式，则a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk--------D------;(A)G(j=k=1,2,…,n时)；(B)=G（j,k=1,2,…,n;jk时)；(C)=0(j=k=1,2,…,n时)；(D)=0（j,k=1,2,…,n;jk时)。3．若G，H都是nn可逆矩阵，则----------B------------；(A)(G+H)-1=H-1+G-1；(B)(GH)-1=H-1G-1；(C)(G+H)-1=G-1+H-1；(D)(GH)-1=G-1H-1。4．若A是nn可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵,则--------A----------；(A)A*=An-1；(B)A*=An；(C)A*=An+1；(D)A*=A。5．设向量组1,2,…,r(r2)线性相关,向量与1维数相同，则------------C-----------(A)1,2,…,r-1线性相关；(B)1,2,…,r-1线性无关；(C)1,2,…,r,线性相关；(D)1,2,…,r,线性无关。6．设1,2,3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系,则在下列中错误的是---------D----------(A)1,2,3线性无关；(B)X=1+2+3是AX=0的解向量；(C)A的秩R(A)=2；(D)1,2,3是正交向量组。7．设1,2是实对称阵A的特征值，1,2,分别是对应1,2特征向量，则----A--------(A)当12时，1与2正交；(B)当1=2时，1与2不正交；(C)1,2线性无关；(D)1,2线性相关。8．设A与B相似，则在下列中错误的是----B--------(A)A与B有相同的特征值；(B)A与B有相同的特征向量；2(C)A与B有相同的谱半径；(D)A=B。9．设A为n级方阵，X为n维列向量,则--------B-----------(A)二次型(X)=XTAX的矩阵是A；(B)二次型(X)=XTAX的矩阵是TAA21；(C)二次型(X)=XTBX的矩阵不是A；(D)二次型(X)=XTBX的矩阵可逆；10．实对称阵A为正定的必要但不充分的条件是--------------D--------------------(A)A的特征值全为正；(B)A与单位阵E合同；(C)A的各阶顺序主子式都大于零；(D)A可逆。11.设A,B为随机事件,若--------C--------------,则A,B相互独立。(A)AB=Φ;(B)P(AB)=0;(C)P(ĀB)=P(Ā)P(B);(D)A∪B=Ω,AB=Φ。12.设A,B为随机事件,若P(A)=P(B)0.5,则------B------------。(A)A,B互不相容;(B)A,B非互不相容;(C)A,B相互独立;(D)A,B相互不独立.13.盒中有5个球,其中2个是红球,3个是白球,从中任取2球,则取到1个红球的概率是---------------B--------。(A)0.4;(B)0.6;(C)0.3;(D)0.48。14.设A,B为随机事件,P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(A-B)=0.1.则------B--------.(A)P(A∪B)=0.6;(B)P(B-A)=0.3;(C)P(Ā-B)=0.4;(D)P(AB)=0.2;15.设随机变量X只能取3,4,5,…,17这15个值,且取每个值的概率均相同,则P(0X217)=---------C----------.(A)14/15;(B)7/15;(C)2/15;(D)4/15.316.己知函数(x),当x[0.1]时(x)=0;当x[0,1]时,(x)=--------D-------,则(x)可看作某一随机变量X的概率分布密度函数;(A)x2;(B)sinx;(C)e-x;(D)3x2;17.己知随机变量X服从区间[5.10]上的均匀分布,则----------C------------.(A)P(X29)=0.3;(B)P(X29)=0.15;(C)P(X2≤9)=0;(D)“X=7”是不可能事件;18.己知随机变量X服从二项分布B(n,p),则D(X)/E(X)=---------B---------.(A)n;(B)1-p;(C)p;(D)1/(1-p).19.己知随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则D(X)=-----------D----------.(A)1/(b-a);(B)(a+b)/2;(C)(a-b)/2;(D)(b-a)2/12;20.己知随机变量X服从正态分布N(,2),则E(X2)=D.(A)2;(B)2;(C)2-2;(D)2+2;二、解答题(每小题8分，共48分)1．解矩阵方程：2011212111X解：122043111220112121112011211X(8分)另解：201121,2111BA11024231001112221110121021121112112BAEBAcccc(6分)4∴1220431BAX(8分)2.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3是它的三个解向量，且1=5432,2+3=4321,求该方程组的通解。解：设四元非齐次线性方程组XA=B,R(A)=3,1,2,3是它的三个解向量,则=21-2-3=6543是齐次线性方程组XA=0的一个基础解系。(4分)∴方程组XA=B的通解为X=k+1=54326543k(8分)3．求矩阵100110011A的特征值和特征向量：解：由3)1(100110011AE（3分）得A的特征值1=2=3=1。（4分）以=1，代入0)(XAE，得0032xx（6分）5其基础解系是001X，所以属于=1的全部特征向量是0,001kk是任意常数。（8分）4.设)(),(),(,7.0)(,4.0)(,5.0)(BAAPBAPABPBAPBPAP求解：;2.07.04.05.0)()()()(BAPBPAPABP(3分)3.04.07.0)()()(BPBAPBAP(6分)747.04.0)()()())(()(BAPAPBAPBAAPBAAP(8分)5．设连续随机变量X的分布函数为0x,00x,bea)x(F2x2(1)求常数a、和b;(2)求概率P{X21};(3)求随机变量X的概率密度函数。解：(1)a=F(+)=1,,a+b=F(0)=F(0-0)=0,∴a=1,b=-1,(3分)即0,00,1)(22xxexFx(2)P{X21}=F(1)-F(-1)=1-e-0.5;(5分)(3)X的概率密度函数：60,00,)()(22xxxexFxfx(8分)6．设随机变量X的概率密度为：0,00,)(xxexfx试求（1）X的数学期望E(X)。（2）Y=e-2X的数学期望E(Y)。解：（1）E(X)=00)()(xxexddxxedxxxf000][dxedxexexxx10xe(4分)（2）E(Y)=3131)(03032xxxedxedxxfe(8分)三、证明题(每小题6分，共12分)1．若A、B均为数域P上的n级矩阵，A与B在数域P上相似，且A与B都可逆，证明：A-1与B-1也在数域P上相似，证：A与B在数域P上相似，则存在数域P上可逆矩阵C，使C-1AC=B,(2分)B-1=(C-1AC)-1=C-1A-1(C-1)-1=C-1A-1C.(5分)∴A-1与B-1也在数域P上相似，(6分)2．设随机变量X服从正态分布N(,2),dte21)x(x2t2,常数ab,证明：P{aXb}=ab证：随机变量X服从正态分布N(,2)，其密度函数为xexfx,21)(222)((1分)7dxebXaPxba222)(21}{(3分)令,tx则dtebXaPtba2221}{(5分)=ab(6分)