《微分方程对称性》论文报告

学习《微分方程对称性》论文报告Hamilton系统动力学不但在现代物理学中扮演者相当重要的角色，而且在数理科学、工程科学、生命科学乃至社会科学的诸多领域，发挥着基础支撑作用，特别是在是非线性科学、天体力学、航天科学和生物工程等分支上倍受重视.但传统的Hamilton系统理论是在偶数维相空间上定义的，这种结构虽然具有很好的性质，但也限制了它的应用范围.为了使得Hamilton系统理论能应用于实际研究中含有奇数维的常微分方程组以及无穷维系统，20世纪50年代科学家们利用广义Poisson括号来定义广义Hamilton系统，从而推动了Hamilton系统的进一步发展[1].近50年来，广义Hamilton系统的研究受到数学、力学和物理学家的重视，在理论、计算及应用方面取得了一系列重要进展.对称性原理是物理学中更高层次的法则.用对称性理论来寻求系统的守恒量是数理科学中的一个近代方向，主要有Noether对称性方法，Lie对称性方法.2000年，梅凤翔教授发表论文ForminvarianceofLagrangesystem,提出一类新的对称性方法——形式不变性，后被学术界称之为Mei对称性，近10年来，Mei对称性与Mei守恒量的研究被迅速拓展或应用于诸多类型的力学和物理学系统，已成为利用对称性寻求系统守恒量的一种新的通用性的方法[20,21,32-47].2003年，文献[5]研究了广义Hamilton系统的Lie对称性,得到系统的Hojman守恒量.2006年，文献[6]研究了带附加项的广义Hamilton系统的Mei对称性间接导致的Hojman守恒量.问题是广义Hamilton系统的Mei对称性能否直接导致守恒量呢？本文主要研究广义Hamilton系统的Mei对称性直接导致的Mei守恒量，给出其存在的条件与形式；进一步推广到带附加项的广义Hamilton系统，给出相应的Mei守恒量.文末，应用本文的方法研究一类新的三维广义Hamilton系统，并研究三体问题中三个涡旋的平面运动.广义Hamilton系统的微分方程为iijjHxJx，(,1,2,,),ijm（1）其中ijJ满足,ijjiJJ0.jkijkiiljlkllllJJJJJJxxx（2）而()iHHtx,为Hamilton函数.Mei对称性是指力学系统的动力学函数在群的无限小变换下，仍然保持系统运动微分方程原有形式的一种不变性[32].引进无限小变换*,ttt**()(),iiixxtxt（3）展开得*0(,),itttx**()()(,).iiiixxttxt（4）其中为无限小参数，0和i为无限小生成元.定义对于广义Hamilton系统（1），如果动力学函数()iHHtx,在无限小变换（4）下***(0)2()()()iHtxHHO,，（5）使得广义Hamilton方程（1）保持其形式不变，即*iijjHxJx，（6）其中(0)0iitx.那么，这种不变性称为广义Hamilton系统的Mei对称性.判据对于广义Hamilton系统（1），如果动力学函数()iHHtx,在无限小变换（4）下的生成元0和i满足方程(0)()0ijjHJx,（7）那么广义Hamilton系统（1）具有Mei对称性.事实上，把（5）式代人（6）式，忽略2及更高阶小量，并利用（1）式，即可得方程（7）.我们把方程（7）称为广义Hamilton系统Mei对称性的确定方程.广义Hamilton系统的Mei对称性导致的Mei守恒量下面的定理给出广义Hamilton系统的Mei对称性直接导致的Mei守恒量存在的条件与形式.定理1对于广义Hamilton系统（1），如果动力学函数()iHHtx,在无限小变换（4）下的生成元0和i满足确定方程（7），并且存在某函数(,)itx满足条件(0)(0)(0)(0)00()()()[()]0,jjjHddHHxdtdt（8）那么广义Hamilton系统存在并直接导致如下形式的守恒量(0)0()MIHconst.（9）其中jjddttx，iijjHJx.证明对（9）式求导，并利用确定方程（7）和守恒量存在的条件（8），我们有(0)(0)00()()MddddIHHdtdtdtdt(0)(0)(0)(0)(0)(0)0000()()()()[()]()jjjdddHHHHHdtdtdtx(0)(0)(0)(0)(0)000()()()()()()()jjijjijHHHHHtxtxx(0)00()[())]0(jjjjjHx（10）我们把（9）式称为广义Hamilton系统的Mei守恒量.带附加项的广义Hamilton系统的Mei对称性导致的Mei守恒量带附加项的广义Hamilton系统的微分方程为iijijHxJFx，(,1,2,,),ijm（11）其中ijJ满足,ijjiJJ0.jkijkiiljlkllllJJJJJJxxx（12）而()iHHtx,为Hamilton函数，()iiiFFtx,是广义Hamilton系统的附加项.对于广义Hamilton系统（11），在无限小变换（4）下Mei对称性的确定方程为[6](0)(0)()()0ijijHJFx（13）下面的定理给出带附加项的广义Hamilton系统的Mei对称性直接导致的Mei守恒量存在的条件与形式.定理2对于带附加项的广义Hamilton系统（11），如果动力学函数()iHHtx,和附加项()iiiFFtx,在无限小变换（4）下的生成元0和i满足确定方程（13），并且存在某函数(,)itx满足条件(0)(0)(0)(0)00()[()]()[()]0,jjjjHddFHHxdtdt（14）那么带附加项的广义Hamilton系统存在并直接导致如下形式的守恒量(0)0()MIHconst.（15）其中()jjjdFdttx，iijjHJx.事实上，对（15）式求导，并利用确定方程（13）和守恒量存在的条件（14），容易得到0MdIdt.我们把（15）式称为带附加项的广义Hamilton系统的Mei守恒量.一类新的三维广义Hamilton系统的Mei对称性与Mei守恒量我们构造一类含有时间变量t的三维广义Hamilton系统，其动力学方程为122131212,,2()4.xtxxtxxtxxxx（16）其中2212121()(),2Hxxtxx2121012()102220ijxJxxx.（17）下面研究三维广义Hamilton系统（16）的Mei对称性和Mei守恒量.对于系统（16），由Mei对称性的确定方程（7），可得01020,0.（18）（18）式有如下解0121,1.（19）把（19）式代入Mei守恒量存在的条件（8）式，可得221232txxx（20）把（19）、（20）式代入（9）式，我们得到广义Hamilton系统（16）的Mei对称性直接导致的Mei守恒量22123MIxxxconst.（21）通过本文提出了广义Hamilton系统的Mei对称性方法，得到广义Hamilton系统、带附加项的广义Hamilton系统的Mei对称性直接导致的守恒量，给出其存在的条件与形式，丰富并发展了广义Hamilton系统的动力学理论以及约束系统的对称性理论.在文章的第5节，我们构造了一类新的含时三维广义Hamilton系统，应用本文的方法研究了其对称性与守恒量.对于这类新的广义Hamilton系统，有待于物理学、力学和工程科学界用于实际问题.通过学习此次课程则更加深入的对Hamulton系统的对称性和守恒量有着更深入的了解。也收获到了许多，特别感谢傅老师的悉心教导和孜孜不倦的敬业精神。祝傅老师身体健康，工作顺利，收获硕果！学生戴芸