《微波技术与天线》第2章

2.1导波原理2.2矩形波导2.3圆形波导2.4波导的激励与耦合第2章规则金属波导规则金属波导—截面尺寸、形状、材料及边界条件不变的均匀填充介质的金属波导管本章主要内容：1.规则金属管内电磁波对由均匀填充介质的金属波导管建立如图坐标系,设z轴与波导的轴线相重合。作如下假设:①波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的;②波导管内无自由电荷和传导电流的存在;③波导管内的场是时谐场。电磁场理论,对无源自由空间电场E和磁场H满足以下矢量亥姆霍茨方程:（1）将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即E=Et+azEzH=Ht+azHz(2-1-2)az为z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐标中的(x,y);也可代表圆柱坐标中的(ρ,φ)。为方便起见,下面以直角坐标为例讨论,将式（2-1-2）代入式(2-1-1),整理后可得000022222222ttzzttzzHkHHkHEkEEkE(2-1-3)（2）设为二维拉普拉斯算子,则有2222zt(2-1-4)利用分离变量法,令)(),(),,(zZyxEzyxEzz(2-1-5)代入式(2-1-3),并整理得(2-1-6)上式中左边是横向坐标(x,y)的函数,与z无关;而右边是z的函数,与(x,y)无关。只有二者均为一常数，上式才能成立,设该常数为γ2,则有(2-1-7)上式中的第二式的形式与传输线方程(1-1-5)相同,其通解为A+为待定常数,对无耗波导γ=jβ,而β为相移常数。（4）设Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),则纵向电场可表达为Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz同理,纵向磁场也可表达为:Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e-jβzrzrzeAeAzZ)((2-1-8)(2-1-10a)(2-1-10b)rzeAzZ)((2-1-9)规则金属波导为无限长,没有反射波,故A－=0,即纵向电场的纵向分量应满足的解的形式为0),(),(2c2yxEkyxEOZozt0),(),(2c2yxHkyxHozozt（5）麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为EHjHEj将它们用直角坐标展开,并利用式（2-1-10）可得:(2-1-11)(2-1-12)而Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程:式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值结论:①在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz,而场的横向分量即可由纵向分量求得;②既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性;③kc是微分方程在特定边界条件下的特征值,它是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。由于当相移常数β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为截止,此时kc=k,故将kc称为截止波数。(2-1-14)2.传输特性描述波导传输特性的主要参数有：相移常数、截止波数、相速、波导波长、群速、波阻抗及传输功率：（2）相速（phasevelocity）与波导波长22c22cp/1//11kkckkkrr(2-1-15)c为真空中光速,对导行波来说k＞kc,故υp＞c/,即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播的速度要快。电磁波在波导中传播,其等相位面移动速率称为相速,于是有rr导行波的波长称为波导波长,用λg表示,它与波数的关系式为22c/1122kkkg(2-1-16)将相移常数β及相速υp随频率ω的变化关系称为色散关系,它描述了波导系统的频率特性。当存在色散特性时,相速υp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入“群速”的概念,它表征了波能量的传播速度,当kc为常数时,导行波的群速为22crr/1d/d1ddkkcg(2-1-17)（3）群速（groupvelocity）（4）波阻抗（waveimpedance）ttHEZ(2-1-18)(5)传输功率(transmissionpower)由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即22111Re()dRe()d||d2222ttzttSSSSZPEHSEHadSESHSZ(2-1-19)Z为该波型的波阻抗3.导行波的分类1)即kc=0这时必有Ez=0和Hz=0,否则由式（2-1-13）知Ex、Ey、Hx、Hy将出现无穷大,这在物理上不可能。这样kc=0意味着该导行波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为横电磁波，简称TEM波。对于TEM波,β=k,故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同。而且由于截止波数kc=0,理论上任意频率均能在此类传输线上传输。此时可用二维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析。2c0k这时β2＞0,而Ez和Hz不能同时为零,否则Et和Ht必然全为零,系统将不存在任何场。一般情况下,只要Ez和Hz中有一个不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形:02ck0|SzE(2-1-20)式中，S表示波导周界。（2）(a)TM（transversemagnetic）波将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称TM波,由于只有纵向电场故又称为E波。此时满足的边界条件应为而由式（2-1-18）波阻抗的定义得TM波的波阻抗为22TM/1kkHEZcyx(2-1-21)(b)TE（transverseelectric）波将Ez=0而Hz≠0的波称为电场纯横向波,简称TE波,此时只有纵向磁场，故又称为H波。它应满足的边界条件为0SZnH(2-1-22)式中，S表示波导周界；n为边界法向单位矢量。22TE/11kkHEzcyx(2-1-23)无论是TM波还是TE波,其相速均比无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波。rrpcv//而由式（2-1-18）波阻抗的定义得TE波的波阻抗为3)这时而相速,即相速比无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波。02ckkkkc22rrpcv//光滑导体壁构成导波系统不存在出现在阻抗壁存在的导波系统此时Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz≠0,且满足0),(),(2c2tyxHkyxHozoz(1)TE波（transverseelectricwave）0),(),(oz2c2222yxHkyxHyxoz在直角坐标系(2-2-2)应用分离变量法,令Hoz(x,y)=X(x)Y(y)代入式（2-2-2）,并除以X(x)Y(y),得2c2222d)(d)(1d)(d)(1kyyYyYxxXxX(2-2-1)(2-2-3)Hoz(x,y)的通解为(2-2-5))sincos)(sincos(),(2121ykBykBxkAxkAyxHyyxxoz其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定。由式（2-1-2）知,Hz应满足的边界条件为0||0||00byzyzaxzxzyHyHxHxH(2-2-6)将式（2-2-5）代入式（2-2-6）可得bnyamxkBkA0022(2-2-7)于是矩形波导TE波纵向磁场的基本解为代入式（2-1-13），则TE波其它场分量的表达式为zjmnmnzybnxbmHHe)cos()cos(00(2-2-8)(2-2-9)式中,Hmn为模式振幅常数,故Hz(x,y,z)的通解为2,1,0,e)cos()cos(e)cos()cos(11nmybnxamHybnxamBAHzjmnzjzzmnmncxybnxamHbnkjEj002e)sin()cos(zmnmncyybnxamHamkjEj002e)cos()sin(0ZEzmnmncxybnxamHamkjHj002e)cos()sin(zmnmncyybnxamHbnkjHj002e)sin()cos((2-2-10)(1)为矩形波导TE波的截止波数,显然它与波导尺寸、传输波型有关。（2）m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数,一组m、n,对应一种TE波,称作TEmn模;（3）m和n不能同时为零,否则场分量全部为零。因此，矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;（4）TE10模是最低次模,其余称为高次模。22cππmnkab讨论：2)TM波对TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足0221OZCOZEKE由式（2-1-20）,应满足的边界条件为(2-2-11)(2-2-12)0),()0,(0),(),0(bxExEyaEyEzzzz（2-2-13）)sincos)(sincos(),(2121ykBykBxkAxkAyxEyyxxoz其通解也可写为用TE波相同的方法可求得TM波的全部场分量0e)sin()cos(je)cos()sin(je)sin()sin(e)cos()sin(je)πsin()πcos(πj11j2c11j2c11j11j2c11j2czmnzmnymnzmnxmnzmnzmnzmnymnzmnxHybnxamEamkHybnxamEbnkHybnxamEEybnxamEbnkEybnxamEamkE（2-2-14）（1），Emn为模式电场振幅数。TM11模是矩形波导TM波的最低次模,其它均为高次模。（2）矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有TEmn模式场的总和,而TM波是所有TMmn模式场的总和。22cππbnamk讨论：(2-2-16)(2-2-15)2.矩形波导的传输特性1)截止波数与截止波长（1）当工作波长λ小于某个模的截止波长λc时,β2＞0,此模可在波导中传输,故称为传导模;（2）工作波长λ大于某个模的截止波长λc时,β2＜0,即此模在波导中不能传输,称为截止模。一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率（或波长）。（3）对相同的m和n,TEmn和TMmn模具有相同的截止波长故又称为简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性。图给出了标准波导BJ-32各模式截止波长分布图。波导中的相移常数为2c12(2-2-17)其中,λ=2π/k，为工作波长。可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。[例2-1]设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm;试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。解：)(0715.02)(08.02)(16.02)(1.0322ccc110110mbaabmbmamfcGHzfTMTETE(2)主模（principlemode）TE10在导行波中截止波长λc最长的导行模。矩形波导的主模为TE10模,)2cos(sin10ztxaHaEy)2cos(sin10ztxaHaHx)cos(cos10ztxaHHzEx=Ez=Hy=0(2-2-18)(a)TE10模的场分布将m=1,n=0,kc=π/a,代入式（2-2-10）,并考虑时间因子ejωt,可得TE10模各场分量表达式由此可见,场强与y无关,即各分量沿y轴均匀分布,而沿x方向的变化规律为x