《数值分析》读书报告

数值分析读书报告数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。数值分析也称为数值计算方法。它包含的内容很多，如函数的插值计算方法、离散数据的拟合、微分与积分、线性和非线性方程、矩阵特征值问题、微分方程等。我们已经学完了函数的插值计算方法，下面针对插值法问题谈谈自己的认识。在工程实践和科学实验中，经常需要建立函数关系，即y=f(x)。虽然从原则上说，它在某个区间[a,b]上是存在的，但通常只能观测到它的部分信息，即只能获取[a,b]上一系列离散点上的值，这些值构成了观测数据。这就是说，我们只知道的一张观测数据表，而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。有两种办法常用来确定经验函数y=g(x)：插值法和拟合法。根据问题的不同，有时要用插值技术来解决，有时则应该采用拟合的方法才合理。插值法是一个古老而实用的课题，它是函数逼近，数值微积分和微分方程数值解的基础。因此它是很重要的。那什么是插值法呢？插值的任务：就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x)，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。插值法:由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x)在互异点x0,x1,...,xn处的值y0,y1,…,yn，构造一个简单函数F(x)作为函数y=f(x)的近似表达式y=f(x)F(x)使F(x0)=y0,F(x1)=y1,,F(xn)=yn(称为插值条件)。这类问题称为差值问题。f(x)称为被插值函数，F(x)称为插值函数，x0,x1,...,xn称为插值节点。插值法主要包括拉格朗日插值，牛顿插值，等距节点插值及样条插值。拉格朗日插值公式是在已知一些点的情况下,利用这些点的坐标,作一个多项式函数,使这个多项式函数的曲线过这些已知点,利用这种方法来分析在这条曲线上其它点的情况.根据点的多少,作出的多项式函数的次数是不同的。牛顿插值在计算插值多项式及求函数近似值时较为方便且节省计算量。两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，求一条n次代数曲线近似地表示待插值的函数曲线。拉格朗日插值代数和牛顿法插值都属于代数插值的范畴。拉格朗日插值和牛顿法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利用n次多项式插值。两者的区别：拉格朗日插值法是通过构造n+1个n次基本多项式，然后线性组合而得到的。而牛顿法插值是通过求各阶差商，递推得到的一个这样的公式：f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]....+(x-x0)...(x-x(n-1))f[x0,x1...xn]，代进去就可以得到。还有，拉格朗日插值法在求每个基本多项式的时候要用到所有那些结点，因此如果需要再多加进去一个结点的话，需要重新求出基本多项式才可，而这需要大量的工程，而牛顿插值法可以减少这个工作量，请看上面的那个式子，如果再加进去一个结点，只要在它后面再加上一个式子，如下所示：（x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))(x-xn)f[x0,x1...xn,x(n+1)]就行了。等距节点插值在应用中最为广泛，利用差分及牛顿前插与后插公式即可。对充分光滑的被插函数可采用微分形式的误差估计给出误差限，其他情形可以利用均差形式给出误差估计的近似值。但由于高次插值存在病态性，一般实际计算很少使用高次插值，更多使用分段低次插值，特别是三次样条插值，由于它具有良好的收敛性和稳定性，又有二阶光滑度，因此在理论上和应用中均有重要意义。在很多岩土工程的实际问题中，例如档土墙、板桩、基础梁和板等工程，由于岩土的非均质、非线性的性状以及几何形状的任意性、不连续性等因素，在多数情况下不能获得解析解。最近二十多年来，随着电子计算机的迅速兴起，在岩土工程中，数值分析受到了极大的重视，各种数值方法在岩土工程中都得到了广泛地应用，同时岩土工程中的各种复杂问题的解决又深化和丰富了数值分析的内容。目前．在岩土工程的数值分析中，用的最为普遍的是有限元法和差分法，其他方法如边界元法正在兴起。变分法与加权余量法既可以独立地作为数值方法运用于土工实际问题的求解，又可作为推导前几种数值方法的手段。当数值分析中的差分法首先盛行于工程科学时，土工中的渗流及固结问题在四十年代后期也开始采用差分法成功地解决了某些实际问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。五十年代及六十年代初，弹性地基上的梁与板以及板桩也用差分法来求解。六十年代，土石坝的静力问题用有限元法来求解。由于有限元解法的灵活性，使差分法在土工中的应用暂时趋丁停滞。进入七十年代之后，土石坝及高楼(包括地基)成功地使用有限无法解决了抗震分析。七十午代后期及八十年代，边界元法异军突起。这方法特别适宜于半无限域课题，这些是土力学及地基工程学科经常遇到的边界情况。近十年来，地基的静力及动力问题，例如桩基及强夯(即动力固结)等，都使用边界元法得到了有效地解决。岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法（DEM），不连续变形分析（DDA），流形元法（MEM），颗粒流（PFC）等数值计算方法也迅速发展。