《数值分析》课程设计任务书2015

数值分析课程设计任务书一、目的任务(1)使学生巩固和加强《数值分析》课程的理论知识。通过对实际问题的分析，算法的实现以及结果的分析，加深已学理论知识更为直观的理解。（2）理解和掌握Matlab编程语言思想和方法，并熟悉常见算法的实现。同时掌握调试程序的基本方法和上机操作方法。（3）掌握书写设计开发文档的能力，使学生学会撰写总结报告。（4）通过查阅文献资料，培养学生独立分析问题和解决问题的能力。（5）培养良好的程序设计风格。在实际编程中，为了提高编程质量，对空行，空格和注释均有要求，在设计编写代码时，应该严格按照要求，养成良好的习惯。二、设计内容【设计题一】（验证矩阵的病态问题）自己设计一个方案验证希尔伯特矩阵的病态1112111231111121nnHnnnn【设计题二】（线性方程组直接法的比较）对下列方程的用不选主元Guass消去法，列主元Guass消去法和LU分解方法求解将这些方法进行比较，谈谈对这些方法的看法。（方程的维数n从120到130）12321617861158611586115861158614nnnxxxxxx【设计题三】（线性方程组迭代法的比较）选用Jacobi方法，G-S方法和SOR方法求解下面线性方程组（考虑n=100）123216110.586122.586122.586122.586122.58621nnnxxxxxx考虑初值的变化和松弛因子的选择对收敛性的影响。并比较将上述方法的计算结果进行比较，说明此方程什么方法最合适。【设计题四】（非线性方程求根的算法设计与比较）1225年，达.芬奇研究了方程32210200xxx并得到它的一个近似根，*1.368808107x。没有人知道他用什么方法得到它。要求：（1）用自己设计的一种线性收敛的不动点迭代法求上述方程的根，然后用斯蒂芬森加速法计算。（2）试分别用二分法,牛顿迭代法求解上述方程。并且对牛顿迭代法采用不同初值，分析方法对初值的依赖性。（3）根据实验结果分析比较上述方法【设计题五】（多项式插值的振荡现象）定义在[-5,5]区间上的函数4()1xfxx要求：（1）选取节点105,kxihhn，考虑用一个n次多项式()npx去逼近()fx。增大n(n=2,4,6,8….),画出原函数()fx以及()npx的图像，比较并分析实验结果，说明什么问题？（2）如果选取节点(21)5cos,1,......12(1)kkxknn，重复上述过程，结果如何？（3）若出现龙格现象，如何解决？【设计题六】（曲线拟合的最小二乘法及其应用）某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量y与时间t的关系t(分)0510152025303540455055Y（410)01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64要求：（1）试分别用插值方法和形如23123yatatat的曲线进行拟合，将结果进行比较，理解各自方法的特点及适用范围。（2）如果曲线拟合中采用指数形式或双曲形式，绘出拟合曲线图形，并进行比较，说明优劣。【设计题七】（函数的最佳平方逼近多项式）对于函数(x),[1,1]fxx,构造其最佳平方逼近多项式（1）若采用基函数21,xx，，得到其一次最佳平方逼近多项式，二次最佳平方多项式。。。。，随着多项式次数增大，发现什么现象？（2）若采用Legendre正交多项式作为基函数，重复上述过程有何发现？【设计题八】（数值积分方法的比较）数学上可以证明12041dxx，试通过计算上述积分得到的近似值。要求：（1）分别用复合梯形公式，Romberg算法，Guass-Legendre公式计算上述积分，使得精度达到610（2）通过此实验，说明各种算法的优缺点。【设计题九】（数值积分公式的应用）在概率论中经常需要计算正态密度函数的积分，通过我们学过的数值积分公式建立一个正态密度函数的概率表，使得精度达到六位有效数字。（概率表可参考概率统计教材）【设计题十】（常微分方程数值方法的比较）给定单摆方程初值问题..0sin,(0),'(0)0gl其中g=9.8,l=25.其精确解为0()cos,gttl要求：(1)取初始偏离角度0100.1745(2)取初始偏离角度0300.5236分别对上述两种情况按照下列方法求出其数值解，比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。（希望时间画的长一点）（方案I）欧拉法，步长h=0.025,h=0.1；（方案II）改进的欧拉法，步长h=0.05,h=0.1；（方案III）四阶经典龙格—库塔法，步长h=0.1。[设计题十一]（Lotka-Volterra捕食竞争系统）考虑一类捕食竞争系统()()dxxbcydtdyyadxeydt其中edcba,,,,均为正常数。上述方程是一个非线性常微分方程组，不可能有解析解。要求：1）假设1,3.0,6.0,8.0,2.1edcba，而且初始值为x(0)=2,y(0)=1.分别四阶经典龙格—库塔法和四阶Adams预测-校正方法，取多种步长求解。把x(t)和y(t)画在同一张图上，比较之。2）改变初始条件，参数不变，同样方法计算，发现什么现象?3）改变参数，初始条件不变，同样方法计算，发现什么现象？能否用常微分方程定性理论解释？（参考常微分方程教材）（注意：希望时间计算的长一些，才能发现解的一些性态）三、时间安排2014-2015年度第二学期，上机讲解时间：周四上午，周五下午（第17,18周）撰写报告时间：暑假提交答辩时间：下学期第一周内四、设计工作要求1.本课程设计可以分为三个主题：数值代数，数值逼近和常微分方程的数值解。学生可以任选一主题作为课程设计的内容（题目自拟，但需贴合报告的内容，比如数值代数中的常见方法）。选数值代数主题的，设计题一和设计题二任选其一，设计题三和设计题四必选；选数值逼近主题的，设计题五，设计题六和设计题七任选其一，设计题八和设计题九任选其一；选常微分方程数值解的，设计题十和设计题十一必选。2.所有的程序需用Matlab完成。3.须提交纸质课程设计报告，基本内容包括（可进一步发挥）：（1）选题的背景。说明主题的背景及意义，同时要说明简述本设计的主要目的。注意设计题非选题的背景，设计题只是作为案例来说明你的主题的。（2）设计思路。说明设计原理（理念）并进行方案选择，阐明为什么要选择这个设计方案以及所采用方案的特点。（3）过程论述。重点说明是如何实现的，包括：对设计工作的详细表述，各种算法的步骤或流程图，以及程序清单。要求层次分明、表达确切。（4）结果分析对研究过程中所获得的主要的结果（输出结果必须是相应的截屏图，图中须有任务栏和命令历史窗口中的日期、时间）、现象进行定性或定量分析，得出结论和推论。（5）课程设计总结总结可以包括:课程设计过程的收获、遇到的问题，遇到问题解决问题过程的思考、程序调试能力的思考，课程设计实现过程中的收获和体会，以及对本课程的认识等。4.请将全班同学的电子版设计报告和相关的M文件刻录在一张光盘上上交。五、成绩评定1.成绩综合纸质报告和答辩成绩而定。2.纸质报告严禁抄袭。若发现雷同，不区分抄和被抄，一并做不及格处理。判断抄袭的参考标准：出现下列情形之一（1）无截屏图；（2）截屏图与他人相同；（3）需编写的M文件（含注释）与他人完全相同；（4）无“课程设计中的心得体会”或过于简短；（5）“课程设计中的心得体会”不含“遇到的问题与困难及解决办法”；（6）“课程设计中的心得体会”与他人相同。3.答辩时对于提的问题概不清楚，做不及格处理。六．教材和主要参考资料1、《计算方法》，郑咸义，华南理工大学出版社2.《Matlab与科学计算（第2版）》，王沫然，电子工业出版社3.常微分方程(第3版)，王高雄，高等教育出版社