《数字信号处理》复习

1《数字信号处理》复习第一章绪论（了解）第二章时域离散信号和时域离散系统1、几种常用序列1,0()0,0nunn1,01()0,NnNRnn其它()()nxnauna为实数:()sin()()xnnrad数字域频率单位弧度0()jnxne（）()()xnxnNn2、u(n)、()n和RN(n)之间的相互关系()()(1)nunun0()()()()nkmunnknkmunm10()()()()NNmRnununNnm任何一个序列都可以写成单位采样序列的移位加权和，即1,()()()()0,mnmxnxmnmnmnm3、关于周期序列的周期计算对于任何一个序列0()sin()xnAn或者0()()jnxne其周期计算公式为：02kN02k为有理数，则x(n)为周期序列。02kpNkQ，P，Q为互为素数的整数，1,0()0,0nnn2令k=Q，则N=P，正弦序列周期为P。02k为无理数，则x(n)为非周期序列。例题：23()cossin35xnnn8()cos(2)7xnn2()sin()8xnn()cossin()44nxnn4、判断系统是否为线性时不变系统线性系统：满足叠加性（可加性）和比例性（齐次性）的系统。设：1122()[()],()[()]ynTxnynTxn121211[()()]()()[()]()TxnxnynynTaxnayn则该系统为线性系统系统对输入信号的运算关系T[*]在整个运算过程中不随时间变化或系统对输入信号的响应与信号加入系统的时间无关。000()[()]()[()]ynTxnynnTxnnn为任意整数则该系统为时不变系统例题：指出下面系统是否为线性时不变系统02[()]()()[()]()[()]()nknTxngnxnTxnxkTxnxn5、因果稳定系统因果系统判断：方法一：系统n时刻的输出只与n时刻及n时刻之前的输入有关，而与n时刻之后的输入无关；方法二：()0,0(()hnnhn为因果序列）稳定系统判断：方法一：系统有界输入，有界输出；方法二：()nhn3例题：判断下面系统是否为因果稳定系统02()2()1()nnnununn6、线性卷积最后计算出来的序列长度为N+M-1（原来两个序列的长度分别为N和M）公式：()()()()mxnhnxmhnm方法：作图表法解析法例题：求h(n)与x(n)的卷积。（1）4()()()hnxnRn（2）51()(),()()2hnunxnRn7、采样（P30页第10题）()()()aaxttnTxnTxn第三章时域离散傅里叶变换1、FT（又称DTFT）变换（课后第1、2、3题）定义：()()()[()]jjnjnXexneXeFTxn或反变换：1()()2jjnxnXeed例题：（1）)(nx（2）)](Im[nxj(3))(2nx（1）()()[()]()jwnjwnjwnnxnexneXe（2）()11[()()][()()]221()()21()()2jwnjwnjwnnnnjwjwnnjwjwxnxnexnexneXexneXeXe4（3）2()()1()()()21()()21()()2jwnjjwnnnnjjwjwjwxneXedxneXeXedXeXe2、FT变换的性质（课后第1、2、3题）周期性：线性：时移与频移：00[()]()jnjFTxnneXe00()[()]()jnjFTexnXeFT的对称性：()()eexnxn()()ooxnxn时域卷积定理：()()()ynxnhn()()()jjjYeXeHe频域卷积定理：()()()ynxnhn1()()()2jjjYeXeHe帕斯维尔定理：221|()||()|2jnxnXed例题：（1）)2()(nxng（2）为奇数为偶数nnnxng02)(解：（1）为偶数kkwkjnjnwnjnwjwekxenxengeG2)()2()()(5)()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wjwjwjwjkwjkwjkwjkjkwjkkwkjkeXeXeXeXekxeXeekxekxekxkx（2）)()()2()()(222wjrwjrrrwjnjnwjweXerxergengeG3、DFT的定义10()[()](),0,1...1(())NknNnXKDFTxnxnWkNxnMNM长度为，101()[()](),0,1...1NknNkxnIDFTXKXKWnNN例题：1、求x(n)=sin(w0n)RN(n)的DFT。2、已知一个有限长序列)5(2)()(nnnx（1）求它的10点离散傅里叶变换)(kX（2）已知序列)(ny的10点离散傅立叶变换为)()(210kXWkYk，求序列)(ny（3）已知序列)(nm的10点离散傅立叶变换为)()()(kYkXkM，求序列)(nm解；（1）109010)5(2)()()(NnnnknkNWnnWnxkX=1+2kW510=1+2kje5102=1+2k)1(，9,...,1,0k（2）由)()(210kXWkYk可以知道，)(ny是)(nx向右循环移位2的结果，即6)7(2)2()2()(10nnnxny（3）由)()()(kYkXkM可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(nynxnm4、圆周卷积（课本65-66页第18、19题）x1(n)长度为N1x2(n)长度为N2两者的循环卷积后的长度为N=max[N1，N2]1112122100()()()()(())()()(())()NNNNNNmmxnxnxnxmxnmRmxmxnmRm方法有两种：方法一：（1）补零，使得x1(n)和x2(n)长度都为N；（2）将其中一个序列反折，周期延拓，并取主值区间；（3）循环移位，相乘相加方法二：课本53页直接用矩阵计算循环卷积和线性卷积之间的区别：线性卷积长度为L=N1+N2-1循环卷积长度为N=max[N1，N2]联系：当N=L时，循环卷积和线性卷积计算结果相同例题：1．已知序列3,2,1,0;1,3,2,2][kkx，序列长度4N，写出序列][])2[(4kRkxN的值（）。解：3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4kkxxxxkRkxN2．已知3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][knhknx则][][nhnx和的4点循环卷积为（）。解：734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]0[xxxxhhhhhhhhhhhhhhhh3、已知)30()1()(),30(1)(nnynnnxn，用圆周卷积法求)(nx和)(ny的线性卷积)(nz。解：4,3,2,1)(nx30n，1,1,1,1)(ny30n因为)(nx的长度为41N,)(ny的长度为42N7所以)()()(nynxnz的长度为7121NNN,故应求周期7N的圆周卷积)()(nynx的值，即)()(~)(~)()()(10nRmnymxnynxnzNNm所以60,4,1,3,2,2,1,1)()()(nnynxnz4、序列3,2,1)(为na，序列1,2,3)(为nb。（1）求线性卷积nbna（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？解：（1）nmnbmanbnanw)()()()()(所以3,8,14,8,3)()()(nbnanw，40n（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为)(na的长度为31N；所以nbna得长度为5121NNN。故FFT至少应取823点。5、如图表示一个5点序列)(nx。（1）试画出)()(nxnx（2）试画出)()(5nxnx01234123nx解：801234123nnxnx567814210413695、频域采样定理（课本64页第7题）频域采样定理：必须NM（M为原序列的长度，N为采样点数），否则时域产生混叠现象6、DFT性质（课本65页15、16题）时域循环移位定理频域循环移位定理7、复共轭序列的DFT（课本65页第17题）*()*()xnXNK*()*()xNnXk8、DFT的共轭对称性（了解）第四章Z变换1、Z变换的定义()()nnXzxnzZ双边变换0()()nnXzxnzZ单边变换本书只研究双边Z变换其收敛域为：右边序列：|Z|R左边序列：|Z|R双边序列：R-|Z|R+例题：求下列系统的Z变换900||()cos()()()jnneunnunxna2、逆Z变换方法：留数法和幂级数法例题：求下列函数的逆Z变换（1）111(),1||2(1)(12)XZZZZ（2）147()65XZZZZ（3）112(),||6(16)ZXZZZ注意：记住几种常见的Z变换及性质（参考课本表格）3、传输函数和系统函数之间的关系（了解）4、在Z域中判断系统的因果稳定性时域：()0,0|h(n)|,nhnn，因果系统稳定系统Z域：H(Z)收敛域为r|Z|，即收敛域在某个圆外，且包含无穷点，则系统因果H(Z)收敛域为r|Z|，01r，即收敛域包含单位圆，则系统稳定5、H(Z)零极点分布图第五章快速傅里叶变换1、直接计算DFT复数乘法次数：2CMN=复数加法次数：(1)CANN=-基2DIT-FFT复数乘法次数：2log22CNNMMN复数加法次数：2logCANMNN2、蝶形图（基2DIT-FFT和基2DIF-FFT主要掌握4点和8点）10例题对于长度为8点的实序列)(nx，试问如何利用长度为4点的FFT计算)(nx的8点DFT？写出其表达式，并画出简略流程图。解：708)()(nnkWnxkX3,2,1,0),()()()()12()2(8304830430)12(83028kkHWkGWrhWWrgWrxWrxkrrkkrrkrkrrrk①30)4(44830)4(4)()()1(rkrkrkrWrhWWrgkX2,1,0),()