《数学思想方法》对我们的现实影响

《数学思想方法》对我们的现实影响040113109------刘铭鑫现实原型七桥问题数学模型一笔画问题无解（一次过桥不可能）无解（一笔画不可能）欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图能一笔画的图形，其奇点个数或为0，或为2，否则就不能一笔画。点A、B、C、D均为奇点，故无法一笔画，也就是说，即使不返回出发地，也不可能不重复地一次走遍这七座桥。一.何为数学思想方法？☆数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。☆数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。☆二者关系---数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。二.为什么我们要学这门课？中小学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法．表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识．深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．我觉得：家教的时候，经常有些学生弄懂了一道题，碰到相似的题目却又不会。所以我们必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达搜索到一个质的“飞跃”，从而使数学教学不再受“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质．三.这节课主要讲授了什么？1.演绎法或公理化方法2.类比法3.归纳法与数学归纳法4.数学构造法5.化归法6.数学模型方法1.演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。☆公理化方法的例子：欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》柯尔莫哥洛夫《概率论基础》ZFC《公理化集合论》2.类比法（数学创造发现的方法）☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。★例子：1）线段、三角形、四面体2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式3）同态与同构4）数的概念的扩充5）多项式理论与整数理论的类比整数＋、－、×带余除法算术基本定理多项式＋、－、×带余除法代数基本定理3.归纳法（逻辑学中的方法）与数学归纳法（数学中的一般方法）☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。归纳法用于猜测和推断。例子：1)Fermat数(1640年，Fn=22n+1,Fermat素数：3，5，17，257，65537)；2)Goldbach猜想（1742年）。☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，如果（1）P(n)当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。那么P(n)对任意自然数n都成立。这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。4．数学构造法（基本数学方法）☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等。☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。☆例子1）求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根。2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。3）勾股定理（毕氏定理）。5.化归法（基本数学方法）（1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法）☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单，由未知化已知。☆化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段。☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则：a)熟悉化原则b)简单化原则c)和谐化原则☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合…6.数学模型方法（基本数学方法）☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。☆数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。☆分类：1）由来---理论MM，经验MM2）使用工具---微分方程MM、概率MM…3)涉及变量的特征---离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM；确定MM、随机MM、模糊MM四.从这些方法中学会什么？1.基本掌握6种解题方法，多思维思考问题；2.学会了用逻辑推理的方式来证明,更多地运用形式逻辑和数理逻辑等逻辑知识。3.不断促进对合理方法的无意识的、不自觉的运用向有意识的、自觉的应用转化。4.运用所学的数学思想方法来指导我们更深层次的数学学习。又如02年全国高中数学联赛第13题：已知点A(0,2)和抛物线上两点B，C使得，求点C的纵坐标的取值范围。一是让他们学会代数设想。二是引导他们学会代数翻译。三是掌握解方程的思想。24yxABBC五.如何在实际教学中应用数学思想方法？1.紧密结合教材，有计划、有步骤地系统的开展数学思想方法的教学。数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，需要学生深入理解事物之间的本质联系。如，学生理解数学结合方法可从小学的画示意图关系着手；在学习数轴时，要求学生会借住数据来表示相反数、绝对值；通过多次引导学生就会逐步形成借助于图形性质解决代数问题的观念，从而达到对数形结合方法的理解。2.我们在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。六.上课情况的总结上课基本保持了遵守纪律，不迟到，不早退，不旷课的要求；课后不断阅读文献，充实自己，逐渐培养起阅读的兴趣，增加自己的文化素养；经常性的做一些中高考题，在实践中检验自己，努力锻炼自己的专业水平。谢谢欣赏