《方程与方程组》复习导航

-1-《方程与方程组》复习导航本讲主要包括一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程四部分内容.近年来，本部分内容在重点考查基础知识、基本技能的基础上，进一步强化了对学生运用方程（组）知识解决实际问题的考查.试题特点、分值及难度：对于方程与方程组的考查，一方面将以填空、选择的方式考查“双基”内容；另一方面以解答题的形式来考查探索方程解的过程.由于解方程（组）在中考中常以基础题的形式出现，所以本部分试题的难点是对阅读创新题和应用题的考查，考查本部分内容的分值平均占到12%左右，难度以中低档为主.复习建议:1．明确目标，抓住重点：在复习方程（组）时，可从三个方面入手：一是解方程（组），二是应用方程（组）解决实际问题，三是注重对基本题型和创新题型的总结.2．关注生活，培养能力：在复习过程中，要关注社会、关注生活，运用所学的知识去解决身边的实际问题；同时，在复习好课本问题，传统问题的基础上，还要多关注近几年中考试题中涌现出的新题型，如开放探索题、情景应用题等.3．领悟思想，把握实质：复习时，要用心体会本部分涉及的两大思想：①转化思想：掌握解方程（组）的实质是化多元为一元、化高次为低次、化分式为整式；②建模思想：体会并认识方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，体会数学的应用价值.专题一、一元一次方程考点分析：利用一元一次方程的定义，或方程的解确定方程中字母的取值是近几年中考的热点之一，以选择题和填空题为主，注重“双基”的考查；列一元一次方程解决较简单的实际问题是必考题型，较简单的问题以填空形式出现，较难的问题常放在解答题中去解决.考点1：方程的有关概念例1（2010年泸州市）若2x是关于x的方程2310xm的解，则m的值为().A．－1B．0C．1D．2-2-分析：根据方程解的定义，只要把2x代入方程，构造出关于m的新方程即可求出m.解：把2x代入到方程2310xm中，得4310m，解得m=－1．故选A.点评：理解方程的解的概念是解决此类问题的关键，一般地，将方程的解代入含字母系数的方程，从而构造出新的方程是解决此类问题的常用方法.考点2：利用相关概念构造一元一次方程例2（2010年衡阳市）如果553mxy与321nxy是同类项，则mn的值为_______.分析：根据同类项定义中“相同字母的指数相同”来构造方程，进而求解.解：由题意，得53m，215n.解得2m，2n，所以2124mn.故填14.点评：常常利用绝对值、相反数、同类项等知识构造一元一次方程，旨在考查同学们对其概念的理解和灵活应用能力.考点3：一元一次方程的解法例3（2010年兖州市）一元一次方程13124xx的解为_________．分析：本题可按照解一元一次方程的一般步骤求解，在去分母时，方程两边的“每一项”都应乘以4，不要漏乘不含分母的项“1”.解：去分母，得2(1)4(3)xx.去括号，得2243xx.移项、并合并同类项，得1x.方程两边同时除以－1，得1x.故填1.点评：解一元一次方程时，特别要注意在移项、去分母、去括号时避免出现错误，要能够根据方程的结构特征，灵活地安排解题步骤.考点4：用一元一次方程解决实际问题例4（2010年福州市）郑老师想为希望小学四年级（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典贵8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．问每个书包和每本词典的价格各是多少元？分析：由于购买物品是每个同学都能在生活中碰到的一个问题，故题目的背景贴近生活实际.本题可利用“3个书包＋2本词典=124元”这个相等关系来列方程.解：设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(8)x元.-3-根据题意，得32(8)124xx，解得28x，所以820x．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．点评：列方程解应用题的关键是寻找相等关系，当题中有两个相等关系时，其基本思路是用一个相等关系来设未知数，用另外一个相等关系列方程．易错点分析：1．基本概念的常见误区：（1）对方程及一元一次方程的定义理解不深刻；（2）对方程的解理解不深刻.2．解一元一次方程常见误区：（1）在去括号时，漏乘项或误用去括号法则；（2）移项时，移动的项不变号；（3）在去分母时，忘记乘没有分母的项或忽略分数线的括号作用.3．列方程解应用题的常见误区：（1）弄不清一些概念及其之间的关系；（2）复杂问题中搞错等量关系；（3）单位不统一；（4）考虑问题不全面，没有检查方程的解是否符合题意．专题二、二元一次方程（组）考点分析：由二元一次方程或二元一次方程组的解去求方程或方程组中的字母系数，是大部分省市中考的热点.主要以填空题或选择题的题型出现，它既考查了方程或方程的解的定义，又考查了二元一次方程组的解法；列二元一次方程组解简单的应用题，是每年中考中几乎不可缺少的题目.考点1：二元一次方程组的解法例1（2010年青岛市）解方程组:34194xyxy分析：一般地，任何一个方程组都可以用代入法或加减法来解.代入法通常解系数较简单的方程组，加减法通常解系数相同或相反的方程组.解：将②×4，得4416xy，③①＋③得，735x，解得5x.把5x代入②得，1y.所以原方程组的解是51xy.点评：代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，其本质就是“消②①-4-元”.“消元”体现了数学学习和研究中的“化未知数为已知”的化归思想.考点2：二元一次方程组的解的意义例2（2010年莱芜市）已知12yx是二元一次方程组18mynxnymx的解，则nm2的算术平方根为（）.A．4B．2C．2D．±2分析：根据方程组解的意义，可把已知解代人到方程组中，构造出含有字母m、n的新方程组，进而求出m、n的值.解：把12yx代入到方程组中，得2821mnnm，解得32mn.所以24mn，由于4的算术平方根为2，故选B.点评:当含有字母系数的方程组的解直接给出时，可先把“给出的解”代入原方程组，从而得到关于字母系数的新方程组，然后再解这个新方程组即可.考点3：构造二元一次方程组解题例3（2010年济宁市）若0)3(12yyx，则yx的值为（）.A．1B．－1C．7D．－7分析：由于非负数的算术平方根是非负数，一个数的平方也是非负数，故当这几个非负数的和为0时，则每一个非负数都为0.由此得到关于字母x、y的二元一次方程组.解：由非负数的性质得，1030xyy，解得43xy，所以7xy.故选C.点评：概念及性质是解题的基础，在很多情形下，我们要优先考虑利用概念及性质解题，本题就是运用绝对值的性质列出二元一次方程组来解决问题的.考点4：二元一次方程与一次函数图象的关系例4（2010年聊城市）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数的方程是（）.-5-A．323.50xyB.323.50xyC.3270xyD.3270xy分析：任何一个二元一次方程都可以化成一次函数关系的形式，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同.解：由于点P在y=2x的图象上，且1Px，则2Py，所以点P的坐标为（1,2）.设一次函数的解析式为ykxb，则有23.5kbb，解得32k，72b.所以一次函数的解析式为3722yx，即3270xy.故选D.点评：从“数”的角度看，函数与方程描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应点（解）组成的图象相同，也就是说，方程的解即为函数图象上的点.考点5：用二元一次方程解决实际问题例5（2010年株洲市）老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币的质量相同）聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录：记录天平左边天平右边状态记录一5枚壹元硬币，一个10克的砝码10枚伍角硬币平衡记录二15枚壹元硬币20枚伍角硬币，一个10克的砝码平衡请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币有多少克，一枚伍角硬币有多少克？分析：本题有两个相等关系：①5枚壹元硬币的质量＋10克=10枚伍角硬币的质量；15枚壹元硬币的质量=20枚伍角硬币的质量＋10克.解：设一枚壹元硬币有x克，一枚伍角硬币有y克.根据题意，得51010152010xyxy，解得64xy.答：一枚壹元硬币有6克，一枚伍角硬币有4克.点评：数形结合是一种重要的思想，图形蕴含着数量关系；反之，数量关系又常常可以通过图形做出直观地反映和描述.本题以天平平衡为载体，较好地体现了数形结合思想.易错点分析：1．用代入法解方程组的基本步骤，可概括为：“先变形，后代入，再回代，求另数”，在“回代”时应注意合理性，不能重复.-6-2．用加减法解方程组，在系数变换时，不能漏乘方程组中的某些项，尤其是常数项，另外在加减消元时，不要弄错符号.3．在列方程组解应用题的步骤中，设元时要注意写上单位，列方程组时应注意等式左右两边单位统一.专题三、分式方程考点分析：分式方程是继整式方程之后的又一种重要的方程模型，该考点主要涉及：分式方程的概念，解分式方程的基本步骤，验根的基本方法，以及通过建立数学模型，列分式方程解决实际问题.题型有选择题、填空题和解答题，其中以分式方程的解法为主要考点.考点1：解分式方程例1（2010年北京市)解方程：312422xxx.分析：由于242(2)xx，因此在方程两边同乘以2(2)x，即可约去分母，将其转化为整式方程.解：去分母，得322xx．整理，得35x．解得53x．经检验53x是原方程的解．所以原方程的解是53x．点评：解分式方程的基本思路是通过去分母，把分式方程转化为整式方程，因此分式方程有产生增根的可能，因此检验是解方式方程不可缺少的重要步骤.考点2：分式方程的增根例2（2009年遵义市）若关于x的方程2221151kkxxxxx有增根1x，则k的值为_________.分析：分式方程的增根是分式方程去分母转化为整式方程的解，因此可先将原分式方程去分母转化为整式方程，然后再把增根1x代入即可求出k的值.解：方程两边同时乘以11xxx得，1151xkxkx.化简，得36xk.把1x代入，得316k，解得9k.故填9.点评：凡涉及利用分式方程的增根来求相关系数值的问题，其解题步骤为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.-7-考点3：含参数的分式方程的解的情况例3（2010年齐齐哈尔市）已知关于x的分式方程a＋2x＋1＝1的解是非正数，则a的取值范围是_______________．分析：分式方程有非正数解的条件是：化简之后的整式方程有非正数解且不使原分式方程的分母为0.解：将原分式方程去分母，得21ax，解得1xa.因此，原分式方程有非正数解的条件是010xx，即10(1)10aa.解得1a且2a.故填1a且2a.点评：本题要注意隐含条件，1a只能保证去分母之后的整式方程的解是非正数，但这样的非正数解有可能是分式方程的增根.考点4：列分式方程解决实际问题例4（2010年盐城市）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．分析：本题答案不唯一，可根据“1班的人数×90%=2班的人数”这个等量关系来列分式方程，从而求出这两