《极坐标和参数方程》真题卷(含答案)

试卷第1页，总4页2015级《极坐标和参数方程》真题卷班级_____________姓名______________1．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy，为参数，.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224.（Ⅰ）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在1C上，点Q在2C上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.2．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cos,sin,xtyt（t为参数），l与C交于A，B两点，∣AB∣=10，求l的斜率.3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinxatyat（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.试卷第2页，总4页4．在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积.5．在直角坐标系xoy中，曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数，0t），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，曲线3:23cosC．（Ⅰ）．求2C与1C交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C与1C相交于点A，3C与1C相交于点B，求AB的最大值．试卷第3页，总4页6．已知曲线221:149xyC，直线l：2,22,xtyt（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．7．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,[0,]2．（1）求C得参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．8．已知曲线C1的参数方程为45cos55sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）试卷第4页，总4页9．已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxtyt（β为参数）上，对应参数分别为t与2t（0＜＜2π），M为PQ的中点。（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。10．已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,,,ABCD的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总6页参考答案1．（Ⅰ）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40xy；（Ⅱ）31(,)22．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程普通方程，利用公式cosx与siny代入曲线C2的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQd的三角函数表达式，然后求出最值与相应的P点坐标．试题解析：（Ⅰ）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40xy.（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为2C是直线，所以||PQ的最小值即为P到2C的距离()d的最小值，|3cossin4|π()2|sin()2|32d.当且仅当π2π()6kkZ时，()d取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为31(,)22.【考点】椭圆的参数方程、直线的极坐标方程【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos,cos)ab，将其转化为三角问题进行求解.2．（Ⅰ）212cos110；（Ⅱ）153.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222xy，cosx可得C的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线l的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得l的斜率．试题解析：（Ⅰ）由cos,sinxy可得圆C的极坐标方程212cos110.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为()R.设,AB所对应的极径分别为12,,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总6页于是121212cos,11,22121212||||()4144cos44,AB由||10AB得2315cos,tan83，所以l的斜率为153或153.【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，弦长公式【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.3．（Ⅰ）圆，222sin10a；（Ⅱ）1【解析】试题分析：（Ⅰ）把cos1sinxatyat化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联立极坐标方程进行求解.试题解析：解：（Ⅰ）消去参数t得到1C的普通方程222)1(ayx.1C是以)1,0(为圆心，a为半径的圆.将sin,cosyx代入1C的普通方程中，得到1C的极坐标方程为01sin222a.（Ⅱ）曲线21,CC的公共点的极坐标满足方程组,cos4,01sin222a若0，由方程组得01cossin8cos1622a，由已知2tan，可得0cossin8cos162，从而012a，解得1a（舍去），1a.1a时，极点也为21,CC的公共点，在3C上.所以1a.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总6页4．（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2CMN的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos,sinxy，∴1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分（Ⅱ）将=4代入22cos4sin40，得23240，解得1=22，2=2，|MN|=1－2=2，因为2C的半径为1，则2CMN的面积o121sin452=12.考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系5．（Ⅰ）(0,0)和33(,)22；（Ⅱ）4．【解析】（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220xyy，曲线3C的直角坐标方程为22230xyx．联立222220,230,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy所以2C与1C交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22．（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0．因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)．所以2sin23cosAB4in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总6页6．（I）2cos,3sin,xy260xy；（II）最大值为2255，最小值为255.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设cos,sin22xy，得椭圆的参数方程为2cos,3sin,xy，消去参数t即得直线的普通方程为260xy；（II）关键是处理好PA与角30的关系．过点P作与l垂直的直线，垂足为H，则在PHA中，12PHdPA，故将PA的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cosP，3sin)到定直线260xy的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为2cos,3sin,xy（为参数）．直线l的普通方程为260xy．（II）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为54cos3sin65d．则0255sin()6sin305dPA．其中为锐角，且4tan3．当sin()1时，PA取到最大值，最大值为2255．当sin()1时，PA取到最小值，最小值为255．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．7．（1）1cos,sin,xtyt（t为参数，0t）；（2）33(,)22．【解析】试题分析：（1）由2cos,[0,]2两边平方，且结合222xy和cosx得半圆C的直角坐标方程为22(1)1(01)xyy，进而写出C的参数方程；（2）利用C的参数方程设(1cost,sint)D，由圆的切线的性质得//GDl，故直线GD与l的斜率相同，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总6页根据斜率列方程得tan3,3tt，从而点D的直角坐标可求．（1）C的普通方程为22(1)1(01)xyy．可得C的参数方程为1cos,sin,xtyt（t为参数，0t）．（2）设(1cost,sint)D．由（1）知，C是以(1,0)G为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同．tan3,3tt．故D的直角坐标为(1cos,sin)33，即33(,)22．考点：1、圆的极坐标方程和参数方程；2、两条直线的位置关系．8．（1）因为45cos55sinxtyt，消去参数，得22(4)(5)25xy，即22810160xyxy，故1C极坐标方程为28cos10sin160；（2）2C的普通方程为2220xyy，联立1C、2C的方程，解得11xy或02xy，所以交点的极坐标为(2,),(2,)42.【解析】（1）先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）