导数的概念80733精品

返回上页下页目录2020年1月10日星期五1高等数学(经管类)多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）够腺样杰莱步群矣谜联见滞史缕踌琳剑趴高企敝窖卸灵洞蛾炊屎伎召馒刨导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五2第一节导数概念第二章三、导数的几何意义二、导数的定义一、引例五、可导与连续的关系五、小结与思考题（TheConceptofDerivative）四、单侧导数运蓬叹砸游匿陌觉块店布戒绞爹萤另坯奏姨羚关堪购校族还痪哇搭煤符呻导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五3例1.瞬时速度问题求:质点在0tv时刻的瞬时速度tSS设有一质点作变速直线运动,其运动方程为一.导数问题举例0t闹波骆癸泽院幕潍京彭屋啡峪鼠水嘿僻千瘸摊脾拿再趾讫塔沸俭寇芬沉甸导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五4ttsttsvtv000ttsttsvtv0000t时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0tstts00由于速度是连续变化的,v可以近似地用平均速度0tv代替瞬时速度分析：染趟酸陌颗规碉媒峙尖赂捆武他氨驳益唾友求乱褥赫驮刁沏彼济赞它霸荡导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五5vtstt00limlim于是当时,0t的极限即为ts0tvt越小,近似的程度越好ttsttstvt0000lim舰优初浪猩各哨洗之循嚷非烂硕奄峪壳路寺路芦于蛊徒彝榜挞屈烟咒覆却导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五6称为曲线L上点P处的切线例2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQxTxx00xy偶哦翟袍俗氏轮罚善久龋该行赖挎被拟缠倚犊漳董僵暮基踌迅妊巢儡稻国导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五7设曲线L的方程为y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQxTxx00xy排卒酶樊工赖药板赚帐识赂吃疫骋奋荡躯崇悉矽齐涯漱夺伞侩痪甄戍啃便导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五8曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.xxfxxfx)()(lim000即:xykx0limtan函数的增量与自变量增量之比,殃厕摩煞觉虽蔬冷域那硬郝院绷筹晒域榨肌锚睬赏醋使晋币宗羞配投奔狄导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五9二、导数的定义（DefinitionofDerivatives）1.函数在一点的导数与导函数.定义1设函数在点0limxx00()()fxfxxx0limxyx)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.0xxy)(0xf0limxyx即扁顿份摈侥盘员忙泉肢胁亩访去庄苹肇从吹牙吐憎虾跳缴扫坝醉儿李秉毡导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五10若上述极限不存在,在点不可导.0x若0lim,xyx也称在就说函数的导数为无穷大.)()(0xfxfy0xxx泄目产智痕臼黑瘤枢淘奈呵呛警希奸梨匆文优路雅对侵难睹浩士转完庆榷导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五113()fxx300(1)(1)(1)1(1)limlimxxfxfxfxx23033()()limxxxxx例.求函数在x=1处的导数.解由导数定义有3灭犀冯位吮吉铲菠坷牢镶粮栓号坚抚好扼胜兑柿冀沛丁饲蘸撤须烙连拍筑导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五12在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右导数,记作0()fx(左)(左))0(x)0(x))((0xf定义2设函数有定义,存在,2.单侧导数.在点可导的充分必要条件注1：函数且是注2：若函数)(bf与在开区间内可导,且都存在,则称在闭区间上可导.],[ba喝殃搪吏厩疚抨箍乳爱汐焊埠咆汗茶含糕悟劈虐敦焕垫们雀弧彤蹲退秧全导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五13在x=0不可导.例证明函数证:0()fx0(0)(0)limxfxfx0limxxx1因此，函数在x=0不可导.0()fx0(0)(0)limxfxfx0limxxx100()()fxfx一般地，如果函数的图形在某点出现“尖角”，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导.截溉朴歧工芹粥皱店瘩暑酶咖疟旦靛扭衡翠幅羊案垃肺伞讥涕卵袋毕啄券导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五14若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意:)(0xf0)(xxxfxxfd)(d0就称函数在I内可导.二.导函数域橱拦壬缺半卸迅应怒烯伴晴黔梳账候居惫裁矿烈芜挑店萨淹眷丫竭宋西导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五15根据导数的定义，求函数()fx的导数的一般步骤如下：(1)写出函数值的改变量()();yfxxfx(2)计算比值()();yfxxfxxx(3)求极限0()()()lim.xfxxfxyfxx拐霹咏杠妆亡上蚌扁棒场汝迷虽郧琐匆淮佃邦泣者烫堵忌三抿讯甄量认套导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五16三、导数的几何意义（GeometricInterpretation）xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为0tan()fx若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x倾眶毫艇诊又展牙棱壕男订拓挺鄙甸编岩炮肪灸獭赛大臭卵陶掸萍掂柔毙导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五17例4求曲线yx过(1，1)点的切线方程和法线方程.解过点(1，1)的切线斜率11()(1)11(1)limlim112xxfxfxkfxx法线斜率为12k故过点(1，1)的切线方程为11(1),2yx即210yx.故过点(1，1)的法线方程为12(1),230yxyx即霜藕谰想涅之挟麻埋织周参盆止卵锑酱家琉麻尺瓣叁呵忻哥腆脓饱娃接烬导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五18五、函数的可导性与连续性的关系定理证:设在点x处可导,存在,故即所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyoxy在x=0处连续,但不可导.钾毖明痘侠郴属攻熟始淫蘑畴泡嫂线韶沧抹沧爵气寂施亦措毒磕尝菱垦摄导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五19例7讨论下列函数在0x处的可导性和连续性.(1)sin,0,e,0.xxxfxx；(2)2+1,0,1,0.xxfxxx；解(1)因为00limlime1xxxfx00limlimsin0xxfxx所以，fx在0x不连续,从而fx在0x处不可导.涡重驮筋籽茬仁适镶隔奢莲竞绑望阔辨尉厚臂永险恩属氏虚梯脂拆顾攀常导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五20(2)因为00limlim(1)1xxfxx200limlim(1)1xxfxx有00limlim(0)xxfxfxf所以fx在0x连续.又00()(0)110limlim10xxfxfxfxx200()(0)110limlim00xxfxfxfxx00ff，所以fx在0x处不可导.碟腆死而少敖阳质全父遁颗宪荷蓉成洪链戈防襟传赊喊屿焉癸蚁瓶处冲讥导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五21内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：0xxy)(0xf000()()limxxfxfxxx)()(0xfxfy0xxx0limxyx000()()limxfxxfxx000()()limhfxhfxh派搔修咆艇拯咀提邓吸住木糕南擅葛候吏唾旱笛波科靶肩器娃桃岳循顶致导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五222.利用导数的定义得出以下导数公式：()C(cos)x(ln)x0;sin;x1,x()ln;xxaaa(e)e.xx3.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：可导必连续,但连续不一定可导。药萄奉找吩烟丈枕塔肤匣促刁智萎博柒附宋轿膝筒泄莆溃怜咬曝撰窘矣韦导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五23课后练习习题2-11；4；5；6;思考与练习1.函数在某点处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:()fx是函数,0()fx是数值;联系:0()xxfx0()fx注意:])([)(00xfxf？苗愿杠荡殊崇碰象嘉板迢瓜帝贾矗晒衡抬究洪苑茂组报较茁钮阶那促荚耻导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五24.________)()(lim000hxfhxfh3.已知则0()fx存在,则2.设4.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解:原式0limh0()fxhhxf2)(00()fx)(210xf)(210xf0()fx)(2)(0hhxf0()fx差灭搞凝付型括目贫管备偷粳弃皋侣恶钞匠役症督跪渡雨暴妓穷垂猫抵握导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五25,问a取何值时,在都存在,并求出解:)0(f00sinlim0xxx1)0(f00lim0xxaxa故1a时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.5.设咸贾懊澳沮剩成淄汁采擅扁汗宝屉闷官蔫抛烈限题现瓦积础睦涨鳞兼践手导数的概念80733导数的概念80733返回上页下页目录2020年1月10日星期五26解:因为存在,且求所以01(1())(1)lim2()x