弧长及扇形面积--讲义

1学科教师辅导讲义教学内容同步知识梳理1.圆周长：r2C圆面积：2rS2.圆的面积C与半径R之间存在关系R2C，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2。n°的圆心角所对的弧长是180Rn180RnlP120*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。4.在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS，所以圆心角为n°的扇形面积是：R21360RnS2l扇形（n也是1°的倍数，无单位）5.圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。2锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P1226.圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；（2）圆锥的母线长都相等7.圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：180ncl同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：llrc21S圆侧面圆锥的全面积为：2rrl例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm80，那么⊙O的半径为___________cm。答案：1203解：由弧长公式：180Rnl得：cm12012080180n180Rl例：若扇形的圆心角为120°，弧长为cm10，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。答案：15；25π例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。答案：90°例：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为____________cm。答案：7例：两个同心圆被两条半径截得的10AB，6CD，又AC=12，求阴影部分面积。解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°10180)12r(nABl6180rnCDl18r60n∴OC=18，OA=OC+AC=30CODAOBSSS扇扇阴OC21OA21CDABll1862130102196例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解：∵正方形边长为a4∴2aS正，222a81)2a(21R21S半圆两个空白处半圆正方形SS2S2222a41aa812aS两个空白处222a21a2S2S个空白四个空白处22222aa21)a21a2(aSSS四个空白处正阴∴叶的总面积为22aa21*也可看作四个半圆面积减去正方形面积2222aa21a)2a(214SS4S正半阴例：已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，AB的度数与CD的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合如图，C点处于E点ABE的度数为180°∴AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°又∵AB=8，BE=CD=6由勾股定理1068AE22∴半径51021OA242256821521SSS2ABE半圆阴例：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画AB，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。5解：∵OA=4cm，∠O=90°∴cm4360490S2AOB扇形cm24AB)cm(8S2AOB，)cm(42)22(S22半圆)cm)(84(SSS2AOBAOBAmB扇形弓形则阴影部分的面积为：)cm(8)84(4SSS2AmB弓形半圆阴影例：①、②……○m是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……（1）图①中3条弧的弧长的和为_________________图②中4条弧的弧长的和为_________________（2）求图○m中n条弧的弧长的和（用n表示）解：（1）π，2π（2）解法1：∵n边形内角和为：（n－2）180°前n条弧的弧长的和为：)2n(21360180)2n(个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长∴n条弧的弧长的和为：)2n()2n(2112解法2：设各个扇形的圆心角依次为n21,,,则180)2n(n21∴n条弧长的和为：6118011801180n21)2n(180)2n(180)(180n21例：如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=660CBA,3AB21BC33BCABAC22法一：23933321'C'A'BC21SB'C'A123606120360rnS22BA'A扇33603120S2BC'C扇形9SSSSSACBBC'CB'C'ABA'A扇扇阴影法二：以B为圆心，BC为半径画弧交A'B于D，AB于D'有ACBB'C'ASS，'CBDBD'CSS扇扇7931236031203606120SSS22BD'D'ABA扇扇阴例：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？解：)cm(12513BC22以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：)cm(300131212SSS22侧底表以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。1252113CD211360CDACCDBCCDSSS下上813102017136051360121360例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。答案：6例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。答案：2π例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。答案：160°例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。答案：180°例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。（1）画出它的展开图；（2）计算这个展开图的圆心角及面积。解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为α，则l=50cm，cm80clc180180cl5080180=288（度）)cm(62805040rS2l扇形例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。9解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得r2c,22cl即r2,r222ll在Rt△SOA中，22210rl由此求得)cm(3320),cm(3310rl故所求圆锥的侧面积为lrS圆侧面)cm(3200332033102例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为2m9，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解：3r,r9,rS22∵h1=4，∴5rhl221柱锥SSS3621155.33253rh2rl7203620S总答：至少要720平方米的毛毡。【模拟试题】10［基础演练］1.已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为____________。2.已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是__________。3.如图，在平行四边形ABCD中，34AB，32AD，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为___________。4.如图，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN//AB，且MN与⊙O2相切于C点，若⊙O1的半径为2，则O1B、BN、CN、CO1所围成的阴影部分的面积是_____________。5.如图，△ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围5m内，（虚线以内，△ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。6.如图，两个同心圆被两条半径截得的cm6AB，cm10CD，⊙O'与AB，CD都相切，则图中阴影部分的面积为____________。11［综合测试］7.如图，OA是⊙O的半径，AB是以OA为直径的⊙O’的弦，O’B的延长线交⊙O于点C，且OA=4，∠OAB=45°，则由AB，AC和线段BC所围成的图形面积是______。8.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（）A.2cm3800B.2cm3500C.2cm800D.2cm5009.如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（）A.4B.2C.34D.10.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（）12A.23B.34C.4D.23211.（2004·湖北黄冈）如图，要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？［探究升级］12.（2004·新疆）在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。（1）的路线：线段CDAC线段DB（2）的路线：线段EFAE线段FB（其中E、F为切点）[参考答案]1.2cm272.2a)436(3.332154.123125.2m)40025(6.2cm607.)3235(8.A9.B10.B11.截法如图所示13BO4O3OO1O2A根