p-q变换与d-q变换的理解与推导

1一、p-q变换与d-q变换的理解与推导（2010.12.24）1.120变换和空间向量120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。ai、bi、ci为三相电流瞬时值，120坐标系与abc坐标系之间的关系为[1]：02210212021iiaaiiiaiiaiiiiicba式中a和2a分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，120jea，2402jea，上式的逆变换为：)(31)(31)(31012221cbacbacbaiiiiiaiiaiiiaaiii可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的cbaiii、、是瞬时值而不是矢量，21ii、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于a和2a是空间算子，所以1i和2i是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。另外，从上式可知，2i等于1i的共轭值，所以2i不是独立变量。用矩阵表示时，可写成0211120iiiCiiicba，cbaiiiCiii120021（1-1）11111221120aaaaC，111113122120aaaaC此变换矩阵为等幅变换。所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF：MagneticMotiveForce）和变换后的电流形成的磁动势MMF幅度一样。？？？？？？2由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。对实线性空间，由于正交变换①保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。令cbaiiii，cbauuuu，变换矩阵为C。原三相系统中功率为：iuiupT),(变换后的功率为：iCCuCiCuCiCuCiCupTTTTT)()(),(当ECCT，即1CCT，可使变换前后功率不变，满足此条件的C即为正交矩阵。在120分量中，由于负序分量2i不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量1i。为此定义定子电流的空间矢量orii，它等于1i的2倍②，即orii=)1(322cbaiaaii（1-2）式中的1、a和2a分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电流为0，orii在a、b、c相轴线上的投影即为cbaiii、、，如图1-1所示。从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量orii既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。①正交变换：变换矩阵C为正交矩阵，满足1CCT②？？？？3a相b相c相aibici1a2aorii图1-1电流的空间向量电压矢量同理可得。2.Park变换与Clarke变换（1）Clarke变换αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。以电流为例，说明abc与αβ0坐标系之间的坐标变换。把图中α和β轴线上的电流i和i分别投影到a、b、c三相轴线上，再加上孤立的零序电流0i，可得ai、bi和ci：abc相相ii0相图1-2αβ0变换400023212321iiiiiiiiiiicba010iiiCiiicba，cbaiiiCiii00其中123211232110110C，2121212323021211320C不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把0C进行单位正交化，变为正交矩阵，使得TCC010，得到等功率变换矩阵为2121212323021211320C（2）Park变换dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极，则d轴与凸极的中心轴线重合，q轴超前d轴90°电角，如图1-3所示。dq0变换是从静止的abc坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。d相a相相相q相b相c相图1-3dq0变换5以定子电流为例。设定子三相绕组中电流为ai、bi、ci，转子d轴与定子a相绕组轴线之间夹角为（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为di、qi、0i。把旋转的d、q轴上的di、qi分别投影到定子a、b、c三相轴线上，再加上零序电流0i，可得到ai、bi和ci：000)3/2sin()3/2cos()3/2sin()3/2cos(sincosiiiiiiiiiiiiqdcqdbqda010iiiCiiiqddqcba，cbadqqdiiiCiii00其中1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sincos10dqC212121)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos320dqC式中0t，为转子的角速度，0为0时刻时，d轴与a轴夹角，转子旋转时，0dqC是一个时变阵。若0，即转子不转，且d轴与a轴重合时，dq0坐标系退化为αβ0坐标系。实际上，由图1-3可知，若0，就意味着。。。。。与图1-2一致。显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵212121)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos320dqC则TdqdqCC010，此时变换将成为等功率变换。Clarke变换也是αβ变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc三相值的变化而变化的。它的主要用途是瞬时无功功率控制。Park变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC（voltagesourceconverter）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq量可以6保持恒定。VSC控制就是控制变换过的dq量从而对系统的电压电流等参数进行控制的[3]。3.瞬时无功理论设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为ae、be、ce和ai、bi、ci。为分析问题方便，把他们变换到两相正交的坐标系上研究。如图1-4所示[2]。图1-4系中电压、电流矢量由下面的变换可以得到、两相瞬时电压e、e和、两相瞬时电流i、i。cbaeeeCee（1-3）cbaiiiCii（1-4）式中232123210132C。此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为qieeiiqiqipipieipiei72123212123212101320C，21232121232121013210C不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系)(61)(6121jiiijiii，)(61)(6121jeeejeee（1-5）以电流为例推导过程如下：0022010120120021200011011612123212123212101321111131iiiiiiaaaaiiiCCiiiCiiicba空间矢量与αβ分量的关系为orii)(3221jiiiorie)(3221jeee（1-6）在图1-4所示的平面上，矢量e、e和i、i。分别可以合成为（旋转）电压矢量e和电流矢量i用于瞬时功率计算中的Clarke变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。电压电流矢量的原始定义中采用的120变换为等幅值变换，Clarke等幅值变换矩阵系数为32，等功率变换矩阵系数为32。电压电流矢量应用到等功率变换体系中应相应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流矢量的23倍：eeeeori23ee8iieiori23ii（1-7）式中e、i为矢量e、i的模（黑体e、i为矢量，非黑体e、i为矢量的幅值），e、i分别为矢量e、i的相角。【定义1】三相电路瞬时有功电流pi和瞬时无功电流qi分别为矢量i在矢量e及其法线上的投影。即sincosiiiiqp（1-8）式中，ie。平面中的pi和qi如图1-4所示。【定义2】三相电路瞬时有功功率p为电压矢量e的模e和三相电路瞬时有功电流pi的乘积，三相电路瞬时无功功率q为电压矢量e的模e和三相电路瞬时无功电流qi的乘积，即qpeiqeip（1-9）把式（1-8）及ie代入式（1-9）中，并写成矩阵形式得出ieieeieipieieie)sinsincos(cos)cos(ieieeieiqieieie)sincoscos(sin)sin(iieeeeqp（1-10）把式（1-3）、式（1-4）代入上式，可得出p、q对于三相电压、电流的表达式cbacbacbacbacbacbacbaTcbacbaTcbaiiieeeeeeeeeiiieeeiiieeeiiieeeiieep21212121212132121212112121211322321232101232123210132232123210132232123210132由于0cbaeee，所以上式可以写为9ccbbaacbacbaieieieiiieeep23232332cbabacacbcbabacacbcbacbacbaTcbacba