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高速电路与系统互连设计中信号完整性(SI)分析(之3~4[二]：信号、互连线、模型、测量的带宽)李玉山西安电子科技大学电路CAD研究所2.0引言研究信号的基本性质，常用的是时域和频域。人们对时域比较熟悉。而频域则更有助于理解和掌握许多信号完整性效应，如阻抗、有损线、电源分布网络、测量及模型。关于时域和频域，面对一个问题的两个方面：上升时间和带宽。前者是时域；后者是频域。下面，要把带宽概念扩展到互连线、模型和测量中。2.1时域提示时域是真实世界，是惟一实际存在的域。之所以这样认为，是因为从出生起，我们的经历都是在时域中发展和验证的，人们已经习惯于事件按时间的先后顺序而发生(人类生活在x+y+z+t的四维世界)。时钟波形的两个相关又不同的重要参数是：时钟周期和上升时间。图2.1说明了这些特征。图2.1典型的时钟波形，图中标明了１GHz时钟信号的时钟周期和10-90上升时间。下降时间一般要比上升时间短一些，有时会出现更多的噪声上升时间有两种定义。一种是默认方式：10-90上升时间。第二种是20-80上升时间。一些实际器件IBIS模型采用20-80定义,可能造成混乱。时域波形下降时间的定义也是10-90和20-80。下降时间通常比上升时间短，这是由典型CMOS输出驱动器设计造成。2.2频域中的正弦波提示频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中惟一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述。工程师们在频域中使用正弦波，时域中任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个重要性质。但并不是正弦波独有的。事实上，正弦波有四个性质：1.完备性：任何波形可由正弦波组合描述。2.正交性：任何两个频率不同的正弦波都是正交的。两个正弦波相乘并在时间轴积分，则积分值为零。3.概念直观：正弦波有精确的数学定义。4.解析性好：正弦波及其微分存在，没有上下边界。使用正弦波，则与互连线的电气效应相关问题变得容易理解。变换到频域并用正弦波描述，有时会比在时域能更快地得到答案。提示毕竟，时域是客观存在的，我们不能脱离这个基础，除非频域中有求解答案的捷径。描述互连电路，常常包括电阻、电感和电容的组合。电路中这些元件可用二阶线性微分方程描述，这类微分方程的解就是正弦波。这类电路中，实际产生的波形就是由上述微分方程的解所对应的波形组合而成。实际的电路模型含电阻、电感、电容、传输线。输入信号是任意波形。电路不同，对输入加工处理的结果也不同。如图2.2所示，用若干正弦波的组合就能容易地描述各种复杂的波形。input──输入output──输出图2.2快速边沿与理想RLC电路相互作用时的时域行为。当数字信号与互连线(它常常可以描述成理想RLC电路元件的组合)相互作用时，就产生正弦波输出2.3解决问题的频域捷径提示我们转向另一个域的惟一原因就是能更快地得到满足要求的答案。一些情况下，在频域中用自然的正弦波，可能比时域更简捷地描述并更快地解决问题。然而，频域中不可能产生新的信息。同一波形的时域或频域描述所含的信息完全相同。频域中理解和描述一些问题比在时域中容易。例如，“带宽”就是一个频域中的概念。用它来描述与信号、测量、模型或互连线相关的最高的有效正弦波频率分量。阻抗在时域和频域中均有定义。频域中理解、使用和应用概念容易，“抗”明显与频率有关。应在两种域中理解阻抗，在频域中解决阻抗问题是首选。电源分布系统(PDS)的设计目标就是使其串联阻抗从直流(DC)到典型信号的带宽之间都保持在给定值之下。处理EMI问题时，包括产品的EMC测量方法，在频域中都更容易实施。仪器信噪比(SNR)高意味着测量质量高。矢量网络分析仪(VNA)的信噪比在其整个频率范围内应是恒定的，从10MHz到50GHz或更高频率，信噪比均为-130dB。时域反射计(TDR)，有效带宽可高达10GHz，但信噪比从低频处的+60dB降至10GHz处的+5dB。从频域看，传输线串联电阻R随频率的平方根增加，介质并联交流漏电流(I=V·G↑)随频率线性增长。将信号变换到频域中，分别考虑传输线影响每个频率分量，然后再将正弦波分量反变换到时域中，获得有损线的瞬态(时域)性能。2.4正弦波的参数表征频域中惟一存在的波形就是正弦波。人们比较熟悉时域中对正弦波的描述。图2.3示例给出，这条有严格数学定义的曲线可以用三个量充分刻画出它的一切特性。TimeDomain──时域Voltage──电压period──周期amplitude──幅度Time──时间FrequencyDomian──频域Amplitude──幅度Frequency──频率图2.3上图：时域中对正弦波的描述，它由1000多个电压－时间数据点组成。下图：频域中对正弦波的描述。用三项可以定义一个正弦波，而在频域中只表示为一个点用以下三项就可以充分描述正弦波：频率；幅度；相位。频率，通常用f来表示，是指每秒中包含的完整正弦波周期数，单位是赫兹。角频率以每秒弧度来度量。弧度像度数一样，描述了周期的一小部分，一个完整周期的弧度为2π。希腊字母ω通常用来表示角频率，以每秒弧度来度量。正弦波的频率与角频率的关系如下：(2.2)其中：ω：角频率，弧度／秒π：常量，为3.14159...f：正弦波频率，赫兹例如，若正弦波的频率是100MHz，那么它的角频率就等于2×3.14159×100MHz～6.3×108弧度／秒。幅度是中间值之上的波峰高度的最大值。水平方向之下和水平方向之上的峰值相等。相位较复杂些，它给出的是从时间轴起点波的起始位置。相位以圆周、弧度或度为单位。在时域中，描述正弦波需要标出许多电压-时间数据点来画出完整的正弦波曲线。在频域中，描绘正弦波就简单得多。在频域中，惟一可以讨论的就是正弦波，需明确的就是幅度、频率和相位。如果只需描述一个正弦波，那么只需要这三个量就可完整描述这个正弦波。实际上，如图2.3所示，常常只需两个量来充分描述正弦波：幅度和频率，这就是幅频特性。此时，在频域中绘制一个正弦波，仅需一个数据点。这就是要在频域中研究问题的关键原因。对于若干个频率值，其幅值的集合称之为频谱。每一个时域波形的频谱都有其独特的模式，计算时域波形频谱的惟一方法就是傅里叶变换。2.5傅里叶积分、级数和离散变换实现频域分析和处理的前提条件是将波形从时域变换到频域表征，傅立叶变换就是这样的工具手段。傅立叶变换有三种类型：傅里叶积分(FI)；傅里叶级数(FS)；离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法FFT。下面分别列举其各自的表达式。(1)FI──能量有限连续函数f(t)的正反变换分别为F(ω)=fte−jωtdt+∞−∞f(t)=12πF(ω)ejωtdω+∞−∞(2)FS──周期为T的连续函数f(t)记an=2Tftcos2nπtTT2−T2dt(n=0,1,2,3,……)bn=2Tftsin2nπtTT2−T2dt(n=1,2,3,……)则f(t)的FS展开式为：𝑓𝑡=𝑎02+𝑎𝑛cos2𝑛𝜋𝑡𝑇+𝑏𝑛sin2𝑛𝜋𝑡𝑇∞𝑛=1记1T=f0(基频),则2πf0=2πT＝ω0。上式括弧内可以进一步合并，而与FI、DFT表达式更接近。f(t)可以理解为ω0的各次谐波nω0之和，每个分量都有不同幅度和初相。(3)DFT──长度为N离散序列f(n)正反变换为Fk=f(n)∙e−j2πnkNN−1n=0fn=1NF(k)∙ej2πnkNN−1k=0其中n、k=0,1,2,……N-1。而FFT只是DFT的快速算法而已。傅里叶积分(FI)将时域表达变换到频域中描述。时域中绝对可积的连续函数都存在傅里叶积分。一个短脉冲，可用傅里叶积分变换到频域。傅里叶积分是在整个时间轴上从-∞到+∞积分，得到的结果是从零频率到+∞频率上连续的频域函数。在这个区间上，每一个连续的频率值都对应一个幅值。对于时域上的周期函数，则对应频域中是离散函数，这就是傅里叶级数(FS)的概念。时域波形可以由一系列离散点值表征，如果再具有周期性，则这些点在有限时间T内通过测量完成。这样，时域周期性的离散性函数，对应频域周期离散函数。这就是离散傅里叶变换(DFT)，对应有快速算法FFT。例如，一个时钟波形可能是从0v到1v的信号，周期为１ns即频率为１GHz。为了表示时钟的一个周期，可能会用1000个离散的数据点，其中时间间隔为1ps。图2.4所示为时域中1GHz时钟波形。提示在频域中，对波形的描述变为不同正弦波频率值的集合。每一个频率分量都有相关的幅度及相位。把所有这些频率值及其幅度值的集合称为波形的频谱。Voltage──电压Time,nsec──时间,nsTimeDomian──时域Amplitude──幅度Frequency──频率FrequencyDomian──频域图2.41GHz时钟信号时域中一个周期(上)；DFT后频域表示(下)快速傅里叶变换(FFT)和离散傅里叶变换(DFT)本质上是一回事。快速傅里叶变换的计算速度比普通的离散傅里叶变换可以快100～10,000倍。傅里叶级数(FS)将周期性波形变换到频域中。其中基本的假设就是原始的时域波形，每隔T秒重复一次。不采用积分运算，此处使用的是求和，用简单的数学方法就可以将任意一组数据变换到频域。2.6周期性信号的傅里叶级数在实际求解FS时，需要要根据奈奎斯特准则在时域采样，以保证在频域不出现混叠现象。一个理想方波可能是从0v到1v，其重复周期是1ns，且占空比为50%。由于是理想方波，所以从0v跳变到1v的上升时间应为０秒，重复频率就应是1/1ns=1GHz。在时域中，如果一个信号是时间间隔t=0～T内的一个任意波形。如果可以将信号以T为周期进行延拓，就把它变成了周期信号。这时，重复频率就是F＝1/T。这样，任何一个波形都可以改变为周期波形，从而可用DFT将其变换到频域中去，如图2.5所示。Onecycleofsignal──一个周期的信号Samecycle,stepandrepeated──数个周期的周期信号Period──周期图2.5任何波形都可变成周期性的。FFT只能对周期波形进行运算频谱中正弦波频率应是重复频率的整倍数。若时钟频率为１GHz，那么FS只有1GHz、２GHz、３GHz等正弦波分量。第一个正弦波频率称为一次谐波；第二个正弦波频率称为二次谐波；依此类推。每个谐波都有不同的幅度和相位。所有谐波及其幅度的集合称为频谱。每个谐波的实际幅度都是由FFT计算的值来确定，每个具体的波形都有其各自的频谱。2.7理想方波的傅里叶级数从理想方波的频谱中可以得到有用的信息，运用这些信息可以估计实际波形。理想方波是对称的，其占空比是50%，并且峰值为1v，如图2.6所示。Timedomain──时域Period──周期Amplitude──幅度HarmonicNumber──谐波次数FrequencyDomian──频域图2.6时域和频域中的理想方波理想方波的重复频率为1GHz，那么频谱中的正弦波频率就是1GHz的整倍数，f=1GHz，2GHz，3GHz等分量。DFT可以计算出各频率分量幅度。偶次谐波(如２GHz、４GHz、６GHz)的幅度为０，只存在奇次谐波的值。奇次谐波的幅度An，如式(2.3)：(2.3)其中：An是n次谐波的幅度π是常量，3.14159…n是谐波数，为奇数占空比为50%、从０v跳变到１v的理想方波，其一次谐波的幅度为0.63v，三次谐波的幅度是0.21v，第1001次谐波的幅度为0.00063v。幅度随幂函数1/f的减小而减小。如果理想方波的电压幅度为原来的2倍，即从０v到２v，那么各次谐波的幅度也加倍。关于０Hz，直流偏移，即波形的均值非零。有时也称为零次谐波，其幅度与信号的均值相等。在方波占空比为50%的情况下，零次谐波幅度为0.5v。归纳起来,正弦波频率分量及其幅度的集合称为频谱，每一分量称为谐波；零次谐波就是直流分量值；对于理想方波占空比为50%这一特殊情况，偶次谐波的幅度为０；理