正方形的性质与判定学案

☆☆正方形的性质与判定学案☆☆1正方形的性质在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和菱形又有什么关系呢？正方形的定义：四个角______________，四条边______________的四边形叫正方形。因此，正方形既是一个特殊的平行四边形，也是一个特殊的有一组邻边相等的________，又是一个特殊的有一个角是直角的________。它具有__________________________________的一切性质。平行四边形、矩形、菱形、正方形性质的区别与联系：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个__________________________________三角形。例1如图，四边形ABCD是正方形，E是AB边上的一点，已知EC=30m，EB=10m，这个正方形的边长、面积和对角线长分别是多少？练习1（边、角、对角线）（1）边长为10cm的正方形的对角线长是________cm，这条对角线和正方形一边的夹角是________，这个正方形的面积是________cm2。（2）正方形的周长为4，则它的边长为________，一条对角线长为________。面积为________。（3）正方形的面积为4，则它的边长为________，一条对角线长为________，周长为________。图形边角对角线对称轴□平行四边形矩形菱形正方形☆☆正方形的性质与判定学案☆☆2（4）如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为________，一条对角线长为________，周长为________。（5）将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形（）A.①③⑤B.②③⑤C.①②③D.①③④⑤（6）在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+62（7）如图，AC为正方形ABCD的对角线，△ADE为等边三角形，则∠EAC=________。（8）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=________。（9）如图，以正方形ABCD的边BC为边做等边△BCE，则∠AED的度数为________。（10）如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=AC，则∠E=________。（11）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G，F在BC边上，四边形DEFG是正方形，若DE=2cm，则AC的长为（）A.33cmB.4cmC.32cmD.52cm练习2（周长、面积、规律类）（1）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为________。（2）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为________cm2。（3）如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是________块。☆☆正方形的性质与判定学案☆☆3A．B．C．D．（4）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）（5）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第n个正方形（实线）四条边上的整点个数共有________个。（6）如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n个正方形的面积是________。（7）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是________。例2如图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF。（1）求证：△BEC≌△DFC（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.练习3（证明题）1.如图所示，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。☆☆正方形的性质与判定学案☆☆42.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE=AB，EF⊥AC，交BC于F。求证：BF=EF3.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG，EF交AD交于点H。（1）求证：DH=FH（2）求DH的长4.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F。求证：EF=AP5.如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE=MN，∠MCE=35°，求∠ANM的度数。☆☆正方形的性质与判定学案☆☆5正方形的判定四边形关系脉络图（请在箭头上补充判定所需条件）判断题（1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）（2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）（3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）（5）四个角都相等的四边形是正方形（）（6）四条边都相等的四边形是正方形（）☆☆正方形的性质与判定学案☆☆6例1已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。（1）若AB=BC，则四边形ABCD是（）（2）若AC=BD，则四边形ABCD是（）（3）若∠BCD=90°，则四边形ABCD是（）（4）若OA=OB，则四边形ABCD是（）（5）若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）练习1（1）已知四边形ABCD是菱形，当满足条件__________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）（2）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC（3）下列命题中的假命题是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形（4）下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B.每组邻边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四个角都相等的四边形是矩形（5）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF例2如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC求证：四边形OCED是正方形☆☆正方形的性质与判定学案☆☆7练习21.在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F（1）求证：DE=DF（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是__________2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE.（1）求证:四边形AEBD是矩形（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明ABCDMNE