project4---BS公式学习笔记

Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇1Black-Scholes期权定价模型20世纪70年代初，衍生证券的革命在股票交易市场的研究群体中掀起。1973年，芝加哥期权交易所开始从事期权的交易。同一年，BlackandScholes（1973）和Merton（1973）发表了关于期权定价的奠基性的文章，Black和Merton也因此被授予1997年的诺贝尔经济学奖。Black-Scholes期权定价模型对金融市场作了一系列假设，主要有：⑴市场的无摩擦性，包括：①无税，无交易成本；②所有的资产可以无限细分；③没有卖空限制。⑵从时刻t＝0到t＝T，都可以以一相同的不变的利率借贷，利率按连续复利r计算。⑶期权是欧式的，即期权只能在到期日执行。⑷从时刻t＝0到t＝T股票不分红。⑸资产价格的变化服从上述的资产价格动力学模型，即遵循带漂移的几何布朗运动的规律：dZdtSdS*包括：①资产价格是连续变化的；②在整个期权生命期内，资产的预期收益和收益方差保持不变；③任何时间段的资产收益和其他时间段的收益互相独立；④任何时间段资产的复利收益率服从正态分布，即))()(log(12tStS～))(),((12212ttttN。Black-Scholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析技术。在上述假设条件下，采取一种动态交易策略，来复制欧式买权到期末的现金流。即用Sf份标的物股票的多头(即买入)和无风险证券的空头(即卖出)来复制一份期权，其中股票的价格为S，期权的价格为),(tSff，是股票价格S和时间t的函数，无风险证券的价值为L，即动态的保持：LSSff即SSffL经过一段微小的时间dt，则有dSSfdfdL⑾因为f和L都是随机过程，我们应用Ito引理来计算它的随机微分：dtSfSdSSfdttfdf22222代入⑾式，有dtSfStfdL)2(2222上式的右边，随机项Z不再出现，这意味着一份期权的空头和⊿份股票的多头能实现风险的完全对冲，而⊿的大小是动态调整的。所以，右边的二者组合和与之等值的无风险证券是完全等价的，即组合的收益率应当等于无风险收益率rf，有dtrLdLf则dtSSffrLdtrdtSfStfdLf)()2(2222整理后得：frSfSSSfrtfff22222⑿Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇2上面的抛物线偏微分方程称为Black-Scholes方程，它刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。为了完成期权定价公式的推导，我们还要给出欧氏期权满足得边界条件：当Tt时，对于买权，有)0,)(max()(XTSTfc；对于卖权，有)0),(max()(TSXTfp其中X时期权指定得标的物的执行价格。根据边界条件，可以倒向解出上述微分方程得初始值的表达式，即Black-Scholes期权定价公式：看涨期权)()()(2)(1dNXedNtSctTrf看跌期权)()()(12)(dNtSdNXeptTrf其中)(N是累计正态分布函数，而tTtTrXtSdf))(2/()/)(log(21tTdd12三、风险中性定价在上述随机微分方程和附加条件中都不含有（即连续计算收益的资产在单位时间内收益的自然对数的预期收益率）说明投资者的风险偏好并不影响期权的价格。可以用风险中性来定价是Black-Scholes开创的期权定价理论的重大突破。在“风险中性”的世界里，所有的市场参与者都是风险中性的，他们对于有风险资产的收益，都不需要风险的补偿。因此，所有资产的预期收益率都相等，即都等于无风险收益率rf。为了更一般起见，假设现在的时刻是t，则有如下关系：))(exp()|~(*tTrSSSEfttT⒀其中E*表示采用风险中性概率求期望。应该注意的是，在将真实世界转移到风险中性世界中是，并没有改变标的物股票价格运动和变化的方式，因此，在风险中性世界里，股票价格仍然服从对数正态分布，且波动率保持不变，但不同，在此将其记为。（一）Black-Scholes公式的推导由方程⑼可知，)](2)(exp[)())(|)(~(2tTtTtStSTSE在风险中性世界里，关系式改成：)](2)(exp[)())(|)(~(*2tTtTtStSTSE，又因为方程⒀有22fr（即为风险中性世界里连续计算收益的资产在单位时间内收益的自然对数的预期收益率）在风险中性世界里，未来带有不确定性的现金流的数学期望用无风险利率折现后的限制就是均衡定价，则买入期权的定价为：]}0,)(~{max[*)),(()(XTSEettSctTrf⒁Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇3记))(~(*TSf为风险中性概率的密度函数，就可把⒁写成：)(~))(~(*])(~[)(~))(~(*]0,)(~max[)),(()(0)(TSdTSfXTSeTSdTSfXTSettScXtTrtTrff由于股票价格仍然服从对数正态分布，因此，))()(~log(tSTS～))(),((2tTtTN令)()())()(~log(tTtTtSTSz则z～N(0,1)，其概率密度函数为：2/221)(zezh将上述对S(T)的积分转化为对z的积分：dzdztTtTztTrdtTtTztTrdzeXdzeetSedzzhXetSettScff22)()(][)()),((2/2/)()()()(22⒂其中)()()(212)(22)(22)()(22)()(2)(2)(222/)(222222222tTdNetTzwdweetTzdeedzeedzedzeetTtTdwtTtTdtTztTdtTztTtTdztTtTzdztTtTz令)()(2)(222/2/2/222dXNzwdweXXzdeXXdzeXdwdzdz令此处)()()/)(log(tTtTXtSd；另外22fr故方程（15）化简为：)()()()),((2)(1dNXedNtSttSctTrfProject4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇4其中dd2tTdd21这就是Black-Scholes随机微分方程的解。因为问题本身与投资者的风险偏好无关，所以在风险中性世界里的解也就是真实世界里的解。（二）Black-Scholes公式的解释⑴)(2dN是在风险中性世界中期权被执行的概率，或者说S(T)大于X的概率，)(2)(dXNetTrf是X的风险中性期望值的现值。)()(1dNtS是得到S(T)的风险中性期望值的现值。这是因为在风险中性世界里，到期日股票价格高于执行价格的概率为：)()())(21()/)(log()()()()/)(log(*)()()/)(log(*)()())(/log(*))(~(*22dNtTtTrXtSNzwtTtTXtSwPtTtTXtSzPtTtTtSXzPXTSPf令⑵)(1dN是复制交易策略中股票的数量，)()(1dNtS就是股票的市值，)(2)(dXNetTrf则是复制交易策略中负债的价值。这是因为，由Black-Scholes公式有：对于看涨期权)(1dNScc对于看跌期权)(1dNSpp所以)(1dN是动态套头比。【注记】⑴当二叉树所分的阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于对数正态分布。观察二叉树定价时价格的变化规律。有qdqutStSii－按概率按概率1,,))()((1此时均值为：)log()1()log()()(log(1dqqtStSEiiProject4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇5方差为：21)log()1()()(log(duqqtStSVarii对于n个阶段的二叉树，因为各个阶段之间价格变化是互相独立的，其均值和方差就应为：)log()1()log()0()(log(dqqnSTSE2)log()1()0()(log(duqnqSTSVar如果我们这样选择u,d和q：)/exp(nTu)/exp(/1nTudnTuq/)(5.05.0显然当n时，有Tdqqn)log()1()log(Tduqnq22)log()1(u和d的选择方法使他们都“足够快”地趋于1。二叉树各阶段之间股票收益的对数变化是独立分布的，由中心极限定理知无限细分时会使股票价格趋于服从对数正态分布，而u,d和q的选择保证了连续计息收益率在单位时间的均值和方差分别为μ和σ2。因此，适当选择参数，二叉树无限细分确实能够描述股票价格的运动规律。⑵在风险中性世界里，可以把方程（9）写成：ttTtTrSSSeEf)|~(*)(按照鞅的定义，上面方程表示风险中性价格过程的折现值TtTrSef~)(是鞅，调整后的风险中性分布即称为等价的鞅测度，在此情况下的风险中性定价被称为鞅定价。⑶由Black-Scholes定价模型得到的期权价格是5个参数：资产价格S、执行价X、无风险利率r、期权到期t和波动率σ的函数，除了波动率之外，其余的4个参数都是可测的量。公式以其简单的形式使交易者对期权价格得到直观的了解，因此在金融市场中得到了广泛的应用。当然Black-Scholes定价模型也存在一定的局限性，例如它对波动率是常数的假定，有悖于金融市场中显示的波动率呈现出尖峰厚尾和聚类的特性，因而出现一定的实证异常，如隐含波动率的“期限结构”以及著名的“波动率微笑”等，造成对期权价格的不合理定价。因此后人对Black-Scholes定价模型进行了不断的修正和扩展，如用随机波动率模型或GARCH模型来刻画波动率等等。Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇6部分内容来自百度，谢谢百度！吴凯财11410080李佳袁11410097鄂飞宇11410359