高考立体几何知识点总结(详细)---学生版

第1页共13页立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型1多面体：_______________________几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2旋转体：________________________________________________封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。（二）几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征1.1棱柱的定义：_________________________________________________由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式chS直棱柱侧（c是底周长，h是高）S直棱柱表面=c·h+2S底V棱柱=S底·h2、棱锥的结构特征2.1棱锥的定义（1）棱锥：___________________________________________由这些面所围成的几何体叫做棱锥。（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2.2正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2Sch正棱椎（c为底周长，'h为斜高）体积：13VSh棱椎（S为底面积，h为高）正四面体：对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为a22的正方体问题。对棱间的距离为a22（正方体的边长）正四面体的高a36（正方体体对角线l32）正四面体的体积为3122a（正方体小三棱锥正方体VVV314）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：ll2161）棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形ABCDPOH第2页共13页3、棱台的结构特征3.1棱台的定义：_____________________________，我们把____和____之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点。4、圆柱的结构特征4.1圆柱的定义：___________________，______________________所围成的几何体叫圆柱。4.2圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。4.3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2π·r·h(r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全=2πrh+2πr2V圆柱=S底h=πr2h5、圆锥的结构特征5.1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。5.2圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2=r2+h25.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。6、圆台的结构特征6.1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。6.2圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。6.3圆台的面积和体积公式S圆台侧=π·(R+r)·l(r、R为上下底面半径)S圆台全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·lV圆台=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h为圆台的高)7球的结构特征7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。7-2球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2=R2–d2★7-3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。7-4球的面积和体积公式S球面=4πR2(R为球半径)V球=4/3πR3（三）空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积：222Srlr圆锥的表面积：2Srlr第3页共13页圆台的表面积：22SrlrRlR球的表面积：24SR扇形的面积公式2211=36022nRSlrr扇形（其中l表示弧长，r表示半径，表示弧度）空间几何体的体积柱体的体积：________________锥体的体积：________________台体的体积：_______________球体的体积：________________（四）空间几何体的三视图和直观图正视图：__________________________________，得到的投影图。侧视图：__________________________________，得到的投影图。俯视图：__________________________________，得到的投影图。★画三视图的原则：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）画法要写好用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图二、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）、________________________________________________________。（2）、________________________________________________________。（3）、________________________________________________________。（4）、________________________________________________________。2、线线垂直的判断：（1）、________________________________________________________。（2）、________________________________________________________。（3）、________________________________________________________。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3、线面平行的判断：（1）、________________________________________________________。（2）、________________________________________________________。判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lI，则l∥α(用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理三垂线定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻第4页共13页⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。2线面斜交和线面角：l∩α=A2.1直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。2.2线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：(1)________________________________________________________。(2)________________________________________________________。(3)________________________________________________________。(4)________________________________________________________。判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即：（2）垂直于同一平面的两直线平行。即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义。⑵利用判定定理证明。⑶________________________________________________________。⑷________________________________________________________。⑸________________________________________________________。★1.5三垂线定理及其逆定理⑴斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。如图：⑵三垂线定理及其逆定理已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用①证明异面直线垂直；②作出和证明二面角的平面角；③作点到线的垂线段。5、面面平行的判断：(1)_____________________________________________________________。(2)____________________________________________________________。6、面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。判定定理：性质定理：⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（3）（4）（二）、其他定理：（1）确定平面的条件：①_______________；②_______________；③_______________；图2-8三垂线定理第5页共13页（2）直线与直线的位置关系：_________；_________；_________；直线与平面的位置关系：_________；_________；_________；平面与平面的位置关系：_________；_________；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；