高考数学之函数知识点总结

函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),((2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；（2）*{|2,}AxxxN，|0,ByyyN，2:22fxyxx；（3）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．上述三个对应（2）是A到B的映射．例2．若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有81个，B到A的映射有64个，A到B的函数有81个例3．设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与2它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8个()B12个()C16个()D18个考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf.例2．（09湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式例1．已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()A.),2[)4,(;B.)1,0()0,4(；C.]1,0()0,4[,;D.)1,0()0,4[,题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,43例2．已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域例3．已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域例4．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域(-3x-1)考点5：求函数的值域1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224xxxy的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（－48）（9）对勾函数法像y=x+mx，（m0）的函数，m0就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0)(0,4],求值域（2）如44yxx，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）（3）如123yxx，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI，如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I4称为)(xfy的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)bbaa，减区间为[,0),(0,]bbaa.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(。4、函数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A，如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最小值。（二）考点分析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．（1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2()82,fxxx若2()(2)gxfx试确定()gx的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，5（2）222()82(2)(2)gxxx4228xx，3()44gxxx，令()0gx，得1x或01x，令()0gx，1x或10x∴单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)．例2.判断函数f(x)=12x在定义域上的单调性.解：函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},则f(x)=12x,可分解成两个简单函数.f(x)=)(,)(xuxu=x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，)(xu为增函数.∴f（x）=12x在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，)(xu为减函数，∴f(x)=12x在（-∞,-1］上为减函数.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）求证：()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx．解：（1）令121xx，得(1)2(1)ff，∴(1)0f，令121xx，得∴(1)0f，∴()(1)(1)()()fxfxffxfx，∴()fx是偶函数．（2）设210xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx∵210xx，∴211xx，∴21()xfx0，即21()()0fxfx，∴21()()fxfx∴()fx在(0,)上是增函数．（3）(2)1f，∴(4)(2)(2)2fff，∵()fx是偶函数∴不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf，又∵函数在(0,)上是增函数，∴2|21|4x，解得：101022x，6即不等式的解集为1010(,)22．题型3：函数的单调性的应用例1．若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：3a）)；例2．已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：1(,)2）；考点2函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型1：求分式函数的最值例1．（2007上海）已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x当21a时，求函数)(xf的最小值。[解析]当21a时，2211)(',221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在区间),1[上为增函数。)(xf在区间),1[上的最小值为27)1(f。题型2：利用函数的最值求参数的取值范围例2．（2008广东）已知函数xax