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本科毕业论文题目格林公式及其应用研究系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师罗卫华评阅教师班级2006级2班姓名蒲玉章学号200602410582010年5月26日目录摘要…………………………………………………………………………………………IAbstract……………………………………………………………………………………I1引言……………………………………………………………………………………12格林公式的相关知识………………………………………………………………12.1基本的格林公式………………………………………………………………………………12.2广义的格林公式………………………………………………………………………………23格林公式的一般应用………………………………………………………………23.1运用格林公式给出平面上任意多边形的面积公式和重心坐标公式………………23.2格林公式在理解物理化学计算过程中的应用……………………………………………43.3运用广义的格林公式求解偏微分方程的变分问题……………………………………5结束语………………………………………………………………………………………8参考文献…………………………………………………………………………………8致谢…………………………………………………………………………………………9内江师范学院本科毕业论文I摘要：在介绍了格林公式相关理论知识的基础上，通过对其在数学物理化学等方面的应用的介绍，让人们对格林公式有了更深入的了解，不但介绍了常见的经典格林公式，还简单介绍了广义的格林公式及其应用．主要是运用格林公式推导数学公式以及运用格林公式理解物理化学中变化过程．通过本次研究让人们对格林公式有了更深层次的认识．通过对格林公式的简单分析，掌握了该公式的结构与形式，学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程，分析了格林公式的实际应用．关键词：格林公式；任意多边形；面积公式和重心坐标公式；物理中的格林公式应用Abstract：InintroducingtheGreen'sformulaonthebasisofthetheoryofknowledge,throughitsphysicalandchemicalpropertiesinthemathematicaldescriptionoftheapplicationsothatpeopleontheGreenformulahasabetterunderstandingofnotonlyintroducedthepopularclassicalGreenformula,alsoabriefintroductionthegeneralizedGrrenformulaanditsapplication.MainlymathematicalformulausingtheGreenformulaandusingGreen'sformulaforunderstandingthephysicalchemistryprocessofchange.ThestudybyGreen'sformulaforpeoplewithadeeperunderstanding.ThroughasimpleanalysisofGreen'sformula,theoremexploreandmasterthestructureandformoftheformula,learningthewaysofthinkingusinganalogiestopromotetheprocessofthetheorem,analyzedanddiscussedthepracticalapplicationofGreen'sformula．Keywords:greenformula;arbitrarypolygon;areaformulaandthecenterofgravitycoordinatesoftheformula;physicsapplicationofgreen’sformula内江师范学院本科毕业论文11引言格林公式在数学，物理，化学等方面都有着广泛的运用．格林公式有很多种形式，文献[1]中已经总结了其常见的几种形式．目前，各种文献中对格林公式的研究不尽相同，而且对格林公式及应用的研究也比较零散．例如，傅孙瑜[5]对格林公式进行了推广，利用广义积分收敛的定义，在一定条件下，证明了一个新的定理．又如，董鹤年[8]运用格林公式将曲线积分化为二重积分计算，从而使计算过程大大简化．张贵海[2]运用格林公式在二重积分与曲线积分之间架起了一座桥梁．本文在相应文献的基础上，总结、研究格林公式的一些性质，以及探索一些常见性质的实际应用，以便读者较为深入的了解格林公式及其应用．本文主要是对特殊的格林公式()LDQPdxdyPdxQdyxy进行研究．在几何上可以运用格林公式推导出平面上任意多边形的面积公式和重心坐标公式；在物理与化学中我们可以利用格林公式去理解一些基本概念；在微分方程中我们可以运用格林公式证明Poisson方程的变分问题有解．2格林公式的相关知识2.1基本的格林公式格林公式表示：在平面区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L的曲线积分来表达．定理1[2]设D由分段光滑的曲线L围成，函数(,)Pxy及(,)Qxy在D上具有一阶连续偏导数，则有()LDQPdxdyPdxQdyxy．其中L是D的取正向的边界曲线．上式叫做格林公式．注(1)格林公式中左端二重积分的被积函数是QPxy，而且在D内偏导连续．这是初学者容易记错或者忽略的地方．右端曲线积分中曲线L对区域D来说都是正向，这也是要注意的．(2)对于复连通区域D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分．(3)格林公式揭示出二重积分与平面曲线积分之间的联系，同时也给出了通过二重积分计算曲线积分的一个重要公式．许多情况，曲线积分化为二重积分计算往往是方便的．当然有些二重积分也可以化为曲线积分来计算，但是在化为曲线积分时，被积内江师范学院本科毕业论文2表达式并不是唯一的．例如，Dxdxdy化为曲线积分时，既可以是212Ldyx，也可以是()xydx或者是21122Ldyxydxx等等．2.2广义的格林公式在文献[9]中，多次运用到了广义的格林公式:uvudxDvDudxvdsv和vuvdxDuDvdxvdsu．将这两式相减还可以得到()()uvvuuvdxvudsnn，其中n为外法向量单位，是二维区域，它有1C边界，222222···uuuuxyz，同样的222222···vvvvxyz．关于广义格林公式，一般应用较少，我们将在后面简单作下介绍．3格林公式的一般应用3.1运用格林公式给出平面上任意多边形的面积公式和重心坐标公式格林公式建立了区域D上的二重积分与D的边界曲线L上第二型曲线积分之间的联系，即()LDQPdxdyPdxQdyxy．这里的L为区域D的边界曲线，并取正方向．如果令,PyQx则有12LDdxdyxdyydx．这就是我们熟知的求区域D的面积的一种方法．实际上，若令0,PQx，(Py或，0)Q，则有()LLDdxdyxdyydx．（*）下面我们用（*）式来求多边形的面积及用类似的式子求多边形的重心坐标．定理2设平面正向（逆时针方向）多边形12...nPPP各项顶点iP的坐标为(,),(1,2,...,)iixyin，则其面积1122111111111()()()22iiiixiiiiiiiiiiPPxiiiiyyyyxdxxdxxxxxyyxxxx11()nPP内江师范学院本科毕业论文3证明由（*）式，多边形12...nPPP的面积12231()nnLPPPPPPDSdxdyxdyxdy．由于直线1iiPP的方程为11()iiiiiiyyyyxxxx1()iixx或=ixx1(=)iixx，故当1iixx时22111111()()26niiiiiiiSxxxxyy．所以有1111()2niiiiLiDSdxdyxdxxyxy，11()nPP．定理3设平面正向（逆时针方向）多边形12...nPPP各项顶点iP的坐标为(,),(1,2,...,)iixyin，则其重心坐标为22111111111111111()()()()11633()()nniiiiiiiiiiiiiinniiiiiiiiiiyyyyxxxyxyyyyxyxyxyxy，1111111()()13()niiiiiiiniiiiixyxyyyyxyxy,11()nPP（**）证明由物理学知道，非均匀薄片的重心坐标可由下式求得：(,)(,)DDxxydxdyxxydxdy，(,)(,)DDyxydxdyyxydxdy．其中D为薄片所占坐标平面的区域，(,)xy为薄片的密度函数．为了求多边形的重心坐标，取(,)xy=1．在格林公式中令212Qx，0P,得122312211()()()22nnLPPPPPPDxdxdyydxydx．类似于定理2，有当1iixx时1122221111111()()()226iiiiyiiiiiiiiiPPyxdyxyyxxxxyy．当1iixx时1122221111111()()()226iiiiyiiiiiiiiiPPyxdyxyyxxxxyy．所以222111111()()26niiiiiiiDLxdxdyxdyxxxxyy．内江师范学院本科毕业论文4令210,2QPy，得122312211()()()22nnLPPPPPPDxdxdyydxydx．同理可得122211111()()()26iiiiiiiiPPydxyyyyxx；2211111()()6niiiiiiiDxdxdyyyyyxx．又因为22111111()()26niiiiiiiSxxxxyy，所以3221111111131111111()()()()11633()()niiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiixxxxyyxyxyxxxxyxyxyxy；22111111111111111()()()()11633()()nniiiiiiiiiiiiiinniiiiiiiiiiyyyyxxxyxyyyyxyxyxyxy，11()nPP．例如当n=3时，即三角形的重心坐标322111131111()()163()iiiiiiiiiiiixxxxyyxxyxy1221212332323113133111()()()()()()13()iiiiixyxyxxxyxyxxxyxyxxxyxy1233xxx，同理可得1233yyyy．3.2格林公式在理解物理化学计算过程中的应用特殊的格林公式()LDQPdxdyPdxQdyxy在物理化学中的应用似乎不是很明显，但是用它去理解其中的一些基本概念是非常有用的，同时可以导出一些很有用的关系式．（1）状态函数的性质及计算在物理化学中，一个热力学体系的状态可以用该体系的若干个性质（如