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一阶线性电路的响应(一):RC串联电路的零输入响应一阶线性电路的响应:RC串联电路的零输入响应电路在无外部激励的情况下，仅由电路内部储能所引起的响应，就称为零输入响应，即：。分析RC串联电路的零输入响应，实质上就是分析电容器的放电过程。在图4-3电路中，换路前电路已处于稳态，电容器上已充满了电荷，即。在时刻发生了换路，开关S从“1”挡切换到“2”挡，将电源从电路上断开。之后电容器将通过电阻释放电荷，把原来储存在电容器中的电场能量释放给电阻，并转变成热能消耗掉。根据换路定则可知：，由于无外来激励，所以电容器端电压将逐渐减小，放电电流也逐渐减小，直到电容极板上储存的电荷全部释放完毕，使衰减到零，也衰减到零。至此，放电过程结束，电路达到一个新的稳态。图4-3RC放电电路由图4-3电路可知(4-2)而故(4-3)显然，式(4-3)为一阶常系数线性齐次微分方程。此方程的通解形式为(4-4a)式中为待定积分常数，为特征根。将式(4-4a)代入式(4-3)得特征方程为所以，特征根为(4-5)由换路定则知：故时有，所以(4-6)将式(4-5)及式(4-6)代入式(4-4a)中，得电容的放电规律为(4-4b)即电容的放电电压是从初始值开始，并按指数规律随时间逐渐衰减到零的。式(4-4b)中，，即。由于具有时间量纲，故称为时间常数。由式(4-4b)可知：的变化快慢完全由的大小来决定。越小，变化越快；越大，变化越慢，如图4-4所示。当时，可见，时间常数等于电容端电压衰减到初始值电压的36.8%时所需的时间，如图4-4所示。同样，可计算出，…等时刻的值，列于表4-1中。表4-1不同时刻的uC值从理论上讲，只有经过无限长的时间后，电容器的放电过程才结束。但从表4-1可见，当时，就已衰减至初始值的5%～0.7%。所以，工程上认为，当时，电路中的暂态过程就基本结束。电容放电电流的变化规律为(4-7)电阻端电压的变化规律为(4-8)式(4-7)及式(4-8)中的负号均表示及方向与图4-4中所选定的参考方向相反。由此可见，在RC串联电路的零输入响应中，和均是按同一指数规律衰减的，如图4-5所示。图4-4不同τ时的变化曲线图4-5uC、uR、iC的变化曲线【例4-2】在图4-6(a)所示的电路中，换路前电路已处于稳态。求后的。图4-6例4-2的电路图解：因为时电路已处于稳态，作出等效电路如图4-6(b)所示。故作出时的等效电路如图4-6(c)所示。故，当时，，即电容要经及放电至零：。且所以，或，