结构力学——力法

学习内容超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算思想与基本方法；力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架的内力对称结构的特性及对称性的利用。超静定结构的位移计算及力法校核。第五章力法学习目的和要求目的：力法是超静定结构计算的基本方法之一，也是学习其它方法的基础，非常重要。要求：熟练掌握力法基本结构的确定、力法方程的建立及其物理意义、力法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算。熟练掌握力法分析刚架的内力计算。会利用对称性，掌握半结构的取法。掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。重点是荷载作用下的超静定结构的内力计算。1.超静定结构的几何特征和静力特征静力特征:仅由静力平衡方程就能求出所有内力和反力。几何特征:没有多余约束的几何不变体系。静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。几何特征:有多余约束的几何不变体系。FPFP静定结构超静定结构第一节超静定结构和超静定次数多余约束只是对几何不变性而言的，对内力和变形而言这些约束是有作用的，它们直接影响到内力和变形的大小和分布规律。在一个静定结构上增加多余约束所得的超静定结构是唯一的；但从超静定结构上去掉多余约束使之成为静定结构时，形式可以有多种多样，多余约束在很大范围内是可以任选的。超静定结构的约束包括必要约束和多余约束，必要约束可通过平衡方程直接确定，而多余约束须结合变形条件才可确定。2.超静定结构的性质第一节超静定结构和超静定次数超静定内力和反力与材料的物理性质、截面的几何特征（形状和尺寸）有关。非荷载因素也会使超静定结构内力和反力；由于有多余约束，所以增强了抵抗破坏的能力；由于有多余约束，所以增强了超静定结构的整体性，在荷载作用下会减小位移，内力分布更均匀。第一节超静定结构和超静定次数比较静定结构与超静定结构的弯矩图比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大弯矩，提高了梁的强度。qEIlq2128982qlqEI22ql超静定梁超静定刚架超静定拱超静定桁架超静定组合结构3、超静定结构的五种类型4.超静定结构的计算方法超静定结构的求解思路：欲求解超静定结构，先选取一个便于计算静定结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。（基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量）。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算有两大基本方法——力法和位移法。第一节超静定结构和超静定次数解除约束法：由于超静定结构具有多余约束，而多余约束的个数即是超静定的次数。通过将超静定结构逐渐去除多余约束，使之与相近的静定结构相比,比静定结构多几个约束即为几次超静定结构。5.超静定次数的确定FPX1FPX2X2分析：判断超静定次数去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束截开一个单铰或去掉一个固定铰支座相当于去掉两个约束。FPFPX2X2X1X1FPFPX2X1两次超静定两次超静定分析：判断超静定次数切断一根梁式杆或去掉一个固定端支座相当于去掉三个约束FPFPX1X2X3FPX2X2X1X1X3X3三次超静定分析：判断超静定次数将刚性连接变成铰结点或将固定端支座变成固定铰支座相当于去掉一个约束。FPX1X1FPX1FP一次超静定分析：判断超静定次数几何可变体系不能作为基本体系；去除多余约束过程不能改变必要约束性质。FPX1X2FP分析：判断超静定次数?FPX2?超静定次数=3×封闭框数=3×5=15超静定次数=3×封闭框数－单铰数目=3×5－5=101X1X2X2X3X3X3次超静定一个无铰封闭圈有三个多余联系几点注意：①一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。②结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。④在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。⑤只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。基本结构待解的未知问题EIqEIX1基本体系基本未知量01Δ基本方程第二节力法的基本原理1.力法基本概念qEIl1X11ΔqP1Δ82qlΔ1为基本体系在荷载与未知力X1共同作用下沿X1方向的总位移；Δ1P为基本结构在荷载单独作用下沿X1方向的位移；Δ11为基本结构在未知力X1单独作用下沿X1方向的位移。若以δ11表示基本结构在单位力X1=1单独作用下沿X1方向产生的位移，则有Δ11=d11X101111PΔΔΔ11111XΔd01111PΔXd力法方程其中d11和1P可图乘法获得；由此确定约束力X1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。力法步骤归纳:PMMXM111.确定超静定次数，选取基本体系；2.按照位移条件，写出力法典型方程；3.作单位弯矩图，荷载弯矩图；4.求出系数和自由项；5.解力法典型方程求多余未知力；6.用叠加法作弯矩图。第二节力法的基本原理7.校核【例】试计算图示连续梁，并作内力图。解：(1)确定基本未知量数目(2)选择力法基本体系(3)建立力法基本方程0P1111ΔXΔd此连续梁外部具有一个多余约束，即n=1qqqAABBCCllX1X1b)基本体系a)一次超静定结构(4)求系数d11和自由项1PEIlllEIyAEI32)32()121(2201111dEIqlllqlEIyAEIΔ12)2()832(2233022P1在基本结构（静定的简支梁）上分别作图和MP图1M(5)解方程，求多余未知力X1823122311P11qllEIEIqlΔXd()1MMP图AABBCCA1A1A2A2ql2/8ql2/8y01y01y02y02图11(6)作内力图可利用叠加公式计算和作M图，即P11MXMM01681600808080211210222222qlqlqlqlqlqlMMMMMCEBDAMM11XMPM图ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDE力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。第二节力法的基本原理超静定次数=多余约束个数超静定结构=静定结构+多余约束FPX1X2FPFPX2X1去除多余约束的方法并不唯一形成静定结构的方式有多样，但解除约束的个数不变第二节力法的基本原理01111PΔXd1.荷载作用下的结构分析FPEIEIllFPlFPPMEIl34311dEIlFΔ231PPX1FPX1=1ll1MPFX831PMMXM11lFP83lFP85M例题：用力法分析结构内力。不同的基本结构计算工作量繁简不同，应尽量选取便于计算的静定结构作为基本结构。选用其它基本体系X1X1X1EIFPEIFPEIEI尽管选取的基本结构不同，但力法方程形式均为：01111PΔXd不同的基本结构对应的基本方程的物理含意义不同。荷载作用下超静定结构内力分布与刚度的绝对值EI无关，只与各杆的相对刚度有关。EI的大小不影响内力的大小和分布，只影响位移的大小。（该结论只适用于荷载作用情况）FPEIEIll例题：用力法分析结构内力。第三节力法的基本体系选择及典型方程一、关于基本体系的选择第一，必须满足几何不变的条件。FPFPFPFPFPFPqqqqqqX2X1X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3第二，便于绘制内力图。FPFPFPMMMqqqAABBBCCCDDDX1X2X1X2A第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加新的约束。AAABBBCCCDDDX1X1X1对错变形条件0021ΔΔ二、关于基本方程的建立FPABCFPFPFPFPFPqqqqAAAAABBBBBCCCCCX1X1X1X2X2X2基本体系之一基本体系之二112112221P2P先讨论两次超静定结构。根据叠加原理，上述位移条件可写为00P222212P112111ΔΔΔΔΔΔΔΔ(a)FPABCFPFPFPFPFPqqqqAAAAABBBBBCCCCCX1X1X1X2X2X2基本体系之一基本体系之二112112221P2P二、关于基本方程的建立11=d11X1、21=d21X100P222212P112111ΔΔΔΔΔΔΔΔ12=d12X2、22=d22X2因为(a)代入式(a),得00P22221212P12121111ΔXXΔΔXXΔdddd这就是根据变形条件建立的求解两次超静定结构的多余未知力X1和X2的力法基本方程。二、关于基本方程的建立(b)也可以选择其它形式的基本体系。变形条件仍写为1=0（表示基本体系在X1处的转角为零）2=0（表示基本体系在X2处的水平位移为零）据此，可按前述推导方法得到在形式上与式（b）完全相同的力法基本方程。因此，式（b）也称为两次超静定结构的力法典型方程。不过须注意，由于不同的基本体系中基本未知量本身的含义不同，因此变形条件及典型方程中的系数和自由项的实际含义也不相同。FPqABCFPqABCX1X2二、关于基本方程的建立对于n次超静定结构，则有n个多余未知力，而每一个多余未知力都对应着一个多余约束，相应地也就有一个已知变形条件，故可据此建立n个方程，从而可解出n个多余未知力。当原结构上各多余未知力作用处的位移为零时，这n个方程可写为000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnΔXXXΔXXXΔXXXddddddddd（力法典型方程）这就是n次超静定结构的力法典型方程。方程组中每一等式都代表一个变形条件，即表示基本体系沿某一多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。二、关于基本方程的建立三、关于系数和自由项的计算000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnΔXXXΔXXXΔXXXddddddddd1）主斜线（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系数dii称为主系数或主位移，它是单位多余未知力Xi=1单独作用时所引起的沿其本身方向上的位移，其值恒为正，且不会等于零。2）其它的系数dij（i≠j）称为副系数或副位移，它是单位多余未知力Xj=1单独作用时所引起的沿Xi方向的位移，其值可能为正、负或零。3）各式中最后一项iP称为自由项，它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移，其值可能为正、负或零。4）根据位移互等定理可知，在主斜线两边处于对称位置的两个副系数dij与dji是相等的，即dij=dji000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnΔXXXΔXXXΔXXXddddddddd三、关于系数和自由项的计算典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的位移，完全可以用第4章所述方法求得。对于荷载作用下的平面结构，这些位移的计算式可写为GAsFEAsFEIsMiiiiiddd2Q2N2dGAsFFEAsFFEIsMMjijijiijdddQQNNdGAsFFEAsFFEIsMMΔiiiidddQPQNPNPP三、关于系数和自由项的计算作出原结构的最后弯矩图后，可直接应用平衡条件计算FS和FN，并