RLC元件的功率和能量

1.电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为pR(t)=u(t)I(t)设流过电阻元件的电流为IR(t)=ImsinωtA其电阻两端电压为uR(t)=ImRsinωt=UmsinωtV则瞬时功率为pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0其瞬时功率的波形图如图所示由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。电阻的平均功率可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。2.电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为iL(t)=√2ILsinωtA则电感电压为：上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负。其波形图如图所示。从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t)为负时，电感元件向外释放能量。pL(t)的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。电感消耗的平均功率为：电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。3．电容元件的功率在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为:ic(t)=√2IcsinωtA则电容电压为：其瞬时功率为：uc(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图所示。从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。电容的平均功率也为零，即：电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。二端电路的功率1.有功功率（也叫平均功率）和功率因素式中称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差，也叫功率因素角。2.无功功率、视在功率和复功率无功功率用Q表示，定义通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即S=UIP、Q、S之间存在如下关系：工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用表示复功率，即=P+jQ3.正弦稳态电路的最大功率传输如图所示，交流电源的电压为，其内阻抗为Zs=Rs+jxs，负载阻抗ZL=RL+jXL,电路中电流为：电流有效值为：负载吸收的功率为：要求出PL的最大值为此需求出PL对RL的导数，并使之为零，即：由上式得到：（RS+RL)2-2RL(RS+RL）=0解得：RL=RS负载获取最大功率的条件为：上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：三相电路1三相电路的基本概念三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差120°。设第一相初相为0°，第二相为-120°，第三相为120°，所以瞬时电动势为：e1=Emsinωte2=Emsin（ωt-120°）e3=Emsin（ωt+120°）这样的电动势叫对称三相电动势。其相量图和波形图见下图。对称三相电动势相量和为零，即：=0由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即：e1+e2+e3=02.三相电源的连接将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图所示。低压配电系统中，采用三根相线和一根中线输电，称为三相四线制；高压输电工程中，由三根相线组成输电，称为三相三线制。每相绕组始端与末端之间的电压，也就是相线和中线之间的电压，叫相电压，其瞬时值用u1、u2、u3表示，通用up表示。任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用u12、u23、u31表示，通用ul表示。由于u12=u1-u2，u23=u2-u3，u31=u3-u1作出线电压和相电压的相量图，如图所示。由于构成等腰三角形，所以同理一般写为作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的倍，且线电压相位比对应的相电压超前30°。3三相负载的星形连接三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。负载的星形连接如图所示是三相负载作星形莲接时的电路图。显然，在负载星形连接时，线电流等于相电流，即相负载对称，即Z1=Z2=Z3=Zp，因各相电压对称，所以各相电流相等，即：I1=I2=I3=IYP=同时，三个相电流的相位差互为120°，满足由基尔霍夫电流定律知iN=i1+i2+i3略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的倍，即：UYP为星形联接负载相电压。三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即I1、I2、I3，用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用IYP表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用IN表示，其方向规定由负载中点N/流向电源中点N。这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是120°，中线电流不为零，此时就不能省去中线。否则会影响电路正常工作，甚至造成事故。所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外，中线上不准安装熔丝和开关。负载的三角形连接如图所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。对于对称三相负载，相电压等于线电压，即相电流同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。即三相电流的相位差也互为120°。各相电流的方向与该相的电压方向一致。由KCL知i1=i12-i31i2=i23-i12i3=i31-i23作出线电流和相电流的相量，如图所示。从图中看出：各线电流在相位上比各相电流滞后30°。由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差120°。可以看出Il=2I12cos30=所以这些说明：对称三相负载呈三角形连接时，线电流的有效值为相电流有效值的倍，线电流在相位上滞后于相电流30°。三相电路的功率三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和：P=P1+P2+P3Q=Q1+Q2+Q3S=S1+S2+S3当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相即功率的三倍。通常，相电压和相电流不易测量，计算三相电路的功率时，是通过线电压和线电流来计算。不论负载作星形连接还是三角形连接，总的有功功率、无功功率和视在功率，计算三相负载总功率的公式是相同的，即：