搜索
RSA算法原理（一）作者：阮一峰日期：2013年6月27日如果你问我，哪一种算法最重要？我可能会回答公钥加密算法。因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是公钥加密算法。一、一点历史1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。由于加密和解密使用同样规则（简称密钥），这被称为对称加密算法（Symmetric-keyalgorithm）。这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。1976年，两位美国计算机学家WhitfieldDiffie和MartinHellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为Diffie-Hellman密钥交换算法。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。这种新的加密模式被称为非对称加密算法。（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。1977年，三位数学家Rivest、Shamir和Adleman设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的非对称加密算法。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。二、互质关系如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。关于互质关系，不难得到以下结论：1.任意两个质数构成互质关系，比如13和61。2.一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。3.如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。4.1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。5.p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。6.p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。三、欧拉函数请思考以下问题：任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4。φ(n)的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。第一种情况如果n=1，则φ(1)=1。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。第二种情况如果n是质数，则φ(n)=n-1。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。第三种情况如果n是质数的某一个次方，即n=p^k(p为质数，k为大于等于1的整数)，则比如φ(8)=φ(2^3)=2^3-2^2=8-4=4。这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。上面的式子还可以写成下面的形式：可以看出，上面的第二种情况是k=1时的特例。第四种情况如果n可以分解成两个互质的整数之积，n=p1×p2则φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)φ(p2)即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。这一条的证明要用到中国剩余定理，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(ap1)，b与p2互质(bp2)，c与p1p2互质(cp1p2)，则c与数对(a,b)是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对(a,b)有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。第五种情况因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。根据第4条的结论，得到再根据第3条的结论，得到也就等于这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：四、欧拉定理欧拉函数的用处，在于欧拉定理。欧拉定理指的是：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，已知φ(10)等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。欧拉定理有一个特殊情况。假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。五、模反元素还剩下最后一个概念：如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的模反元素。比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为(3×4)-1可以被11整除。显然，模反元素不止一个，4加减11的整数倍都是3的模反元素{...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则b+kn都是a的模反元素。欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。可以看到，a的φ(n)-1次方，就是a的模反元素。==========================================好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。（完）