WKB近似及在一维势阱量子化条件推导的应用

WKB近似推导一维势阱量子化条件摘要：在量子力学里，WKB近似是一种半经典计算方法，可以用来解析薛定谔方程。WKB近似的应用非常广泛，特别是量子力学相关问题中。本文通过介绍了WKB近似，并用其导出了一维势阱量子化条件为例，进一步深入了解WKB近似法求解方程的步骤和过程。关键词：WKB近似，一维势阱，量子化条件，薛定谔方程引言：WKB近似全名为温侧-克喇末-布里渊近似法，是以三位物理学家GregorWentzel、HendrixAnthonyKramers和LeonBrillouin命名的。他们于1926年成功的发展和应用于量子力学。经过近百年的发展和改进，WKB近似已得到完善和普及，应用广泛，如处理谐振子问题、开普勒问题、一维及三维定态微扰问题、分波相角计算问题等。本文主要讲解的是在势场xV变化缓慢并且E—xV特别大的条件（即WKB近似条件）下，用WKB近似方法求解一维定态薛定谔方程可以得到WKB波函数，结合转折点处波函数的渐进行为以及边条件能过导出一维势阱中三种典型模型下的束缚态例子的量子化条件。1.WKB近似法的基本思想若薛定谔方程可以分解为几个常微分方程，并且问题又与经典问题相差不大是，则可以将波函数按幂级数展开，而且只取前面少数几项就能得到到小号的结果。所谓问题与经典问题相差不大，是指在研究体系中，研究的动量与其运动空间尺度大，普朗克常量作用不大，使量子力学问题退化为经典问题。2.WKB近似法的基本步骤求解一个量子系统的薛定谔方程的基本步骤，由基本思想可以归结为以下五步：首先将波函数打造为一个一个指数函数；其次是将这些指数函数代入薛定谔方程；然后将指数函数展开为普朗克常量的幂级数的多项式函数；再匹配约化普朗克常量同次幂的项目，得到一个方程组；最后解析这些方程，得到WKB近似波函数。3.WKB近似波函数根据上述的基本思想和基本步骤，以一维自由粒子为例，解其WKB近似波函数的过程如下。考虑到量子力学与经典力学之间的过度条件：，MCMQ.0.利用准经典近似法（WKB近似法），对一维自由粒子波函数以展开，然后求薛定谔方程并取波函数近似解，即可得到WKB近似波函数。这一过程的具体步骤为：对于一维自由粒子波函数iAexppx可记为iexpxf，将其代入薛定谔方程m22xVExV，可得022ipff（1）将xxxxffff2210…，并代入式（1）可得到的多项式，根据各幂次系数为零有：；；，；，；fffffffpf02i2i0220121001220…取xf至以及近似，得dttpxfxff0101（2）其中：xVEmxp2。将式（2）代入薛定谔方程，得xxadttpxpCdttpxpC001siniexp（3）其中：aCC，，有具体问题的边界条件和归一化条件确定。式（3）是一维自由粒WKB近似波函数的解，该解成立的条件：xVEmxp20，即ExV，波函数对应图1的区域Ⅱ（经典允许区）。当xVExp，即0时，只需将式（3）中的xp变为ixp，即可得到与图1中区域Ⅰ和区域Ⅲ（经典禁区）对应的WKB近似波函数：xxdttpxptdtpxpCC0201iexpiexp（4）其中：C1，C2边界条件及过一滑条件决定。3.一维势阱量子化3.1无垂直壁势阱式（3）（4）分别给出了ExV和ExV的WKB近似波函数。但是在转折点x1，x2处xxVVE21，临近x1，x2处不满足WKB近似条件：12dxdVxVEx，其中：xVEmx2。因此，在临近x1，x2处式（3）、式（4）不在成立。此时转折点处波函数可由连接函数与WKB波函数对照得出。xx1两侧WKB波函数的连接公式为：xxxxdxxpxpdxxpxp1141sin21exp1（5）（经典禁区xx1）（经典允许区xx1）所以在势阱中的粒子的束缚态的WKB波函数课表示为：xxxxxxxxpCdxxpxpCxxxxpCdxxpxpCxxxx222111sin41sinsin41sin21，，由于在同一区域Ⅱ内（阱内）波函数应保持一致，所以...3,2,121nnxx即,...3,2,12121nndxxpxx，由此得到无垂直阱壁势阱模型（见图1）下的量子化条件为：,...)3,2,1(2121nndxxpxx（6）3.2含单垂直阱壁势阱单垂直阱壁势阱（见图2）是一维势阱的一种重要模型。其势函数满足00xxxfxV在垂直壁0x处，显然有00。此时,221kxmxx其中：nm,均为整数，整理得：...3,2,12nnmkx即,4120ndxxpx由此得到的单垂直阱壁势阱模型下的量子化条件为：...3,2,14120nndxxpx（7）3..3垂直势阱图3的一维垂直势阱的势函数可表示xxxxxfxxV2200在区域Ⅱ中，WKB近似函数形式与式（3）相同并可以化为xxxpdttpxpCCCxcossin1iexp210其中：dttpxx01（8）。有边界条件可知，当0x时，00，从而有000sin2,C，；当xx2时，0sin,022xx，所以...3,2,12nnx，代入式（6）中，可得：...3,2,120nndxxpx（9）式（9）就是一维垂直势阱内束缚态的量子化条件，相当于原始的Bohr-Sommerfeld量子化条件，并且同样适用于平底势阱。结语由上述推导过程，可以看出使用WKB近似方法导出了一维势阱中三种典型势阱模型下束缚态的量子化条件，推导方法简洁、清晰，既有助于了解WKB近似的今本思想和理论，又有利于对一维势阱下束缚态粒子量子化条件的深刻认识。另外，通过不同模型下的量子化条件，能够很容易计算出相应势阱中粒子的能级分布（如计算一维谢正子的能级分布）。WKB近似求解薛定谔方程的本质是求解二阶微分方程的近似解，在量子力学领域的计算过程中，有着重要的作用。但由于WKB近似法的应用是有条件限制的。它的局域性影响有些研究的近似解的准确度，如非均匀等离子体中的脉冲波形研究中，电磁波传播过程中的向前波和向后波的耦合效应，使得WKB近似解的准确度不高，而利用差分传输矩阵技术，在再合WKB近似法，使得原来的WKB近似解由阶近似提升为二阶近似。由此可见，与传统的WKB近似相比，改进WKB近似法对研究的效果更好。因此，改进WKB近似法是以后WKB近似在研究中发展的有力前提。对此，研究人员要多加努力。参看文献方宁、王宝发，给予改进WKB的非均匀等离子体中脉冲波形研究，《电子学报》，2010年03期李海、宇文莉、杜慧秋，基于WKB近似的一维势阱量子化条件的推导，高师理科学刊，2010年1月，30卷第1期钱伯初，量子力学，高等教育出版社，2006年1月：43~51