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R软件及其在金融定量分析中的应用主编：许启发、蒋翠侠制作：王侠英、侯奇华2014年10月编写第十章金融风险共同趋势分析第一节收益序列间的共同趋势第二节风险序列间的共同趋势第三节习题第四节参考文献第一节收益序列间的共同趋势单位根检验单整•定义10-1（单整性）考虑非平稳时间序列{Yt}，必须经过d次差分后变换为一平稳可逆的ARMA过程，而该序列d-1次差分仍保持非平稳性，则称{Yt}具有d阶单整性。•当d=0时，{Yt}为平稳过程，记为I(0)；当d≥1时，{Yt}是单整阶数为d的非平稳过程，用Yt~I(d)表示。•单整过程又称为单位根过程，时间序列的非平稳性的检验方法又称为单位根检验。第一节收益序列间的共同趋势单位根检验ADF检验•Dickey和Fuller提出改进的DF检验方法，称为ADF检验或增广（Augmented）DF检验。•将检验的模型扩展到AR(p)过程及误差项ut存在自相关的情形，检验的模型如下：(10.11)式中ut~i.i.d(0,σ²)，α表示截距项；βt表示趋势项。第一节收益序列间的共同趋势单位根检验ADF检验•例10-1：模拟生成样本序列（见图10-1），使用urca包中的ur.df()函数进行ADF单位根检验。•R代码演示如下：第一节收益序列间的共同趋势单位根检验ADF检验图10-1单位根检验的模拟数据（n=1000）第一节收益序列间的共同趋势单位根检验ADF检验•Valueoftest-statisticis:-22.1566Criticalvaluesforteststatistics:1pct5pct10pctTau1-2.58-1.95-1.62•通过比较检验统计量值与临界值，可以对原假设做出拒绝或接受的判断。这里序列x的检验统计量值为-22.1566，小于临界值，在1%水平下拒绝原假设，因此认为序列x平稳。第一节收益序列间的共同趋势单位根检验PP检验•Phillips等(1988)[2]提出了一种非参数检验方法，称为PP检验。•PP检验的原假设和备择假设为：H0:ρ=1（Yt为非平稳序列）H1:ρ1（Yt为平稳序列）•PP检验统计量极限分布为：(10.15)(10.16)第一节收益序列间的共同趋势单位根检验PP检验•当检验统计量值大于临界值时，接受原假设，说明序列存在单位根；小于临界值时拒绝原假设，说明序列是平稳的。•PP非参数检验本质上是对DF检验的修正，最大程度的修正了残差自相关和可能的异方差带来的影响。•例10-2：续例10-1。对模拟生成的样本序列，使用urca包中的ur.pp()函数进行PP单位根检验。•R代码演示如下：第一节收益序列间的共同趋势单位根检验PP检验•Valueoftest-statistic,type:Z-tauis:-31.244CriticalvaluesforZstatistics:1pct5pct10pctcriticalvalues-3.439534-2.864849-2.568544•序列x的检验统计量值为-31.244，小于临界值-3.439534，在1%水平下拒绝原假设，因此认为序列x平稳。第一节收益序列间的共同趋势单位根检验KPSS检验•Kwiatkowski等(1992)[4]提出了KPSS检验，用于区分平稳序列和一阶单整序列。•PP检验的原假设和备择假设为：H0:ρ1（Yt为平稳序列）H1:ρ=1（Yt为非平稳序列）•KPSS检验的步骤如下：首先通过OLS估计获取残差序列，进而通过检验残差序列是否存在单位根，来判断时间序列是否存在单位根。第一节收益序列间的共同趋势单位根检验KPSS检验•KPSS检验中，当检验统计量值大于临界值时，接受原假设，说明序列平稳；小于临界值时拒绝原假设，说明序列存在单位根。•例10-3：续例10-1。对模拟生成的样本序列，使用tseries包中的kpss.test()函数进行KPSS单位根检验。•R代码演示如下：第一节收益序列间的共同趋势单位根检验KPSS检验•data:xKPSSLevel=0.3935Truncationlagparameter=7p-value=0.07997•结果表明，检验p值0.079970.05，从而序列x在5%显著性水平下接受原假设，认为序列平稳。第一节收益序列间的共同趋势单位根检验案例分析•例10-4：考察中国股票市场间的关系，选取上证综指(SH)和深证成指(SZ)每日收盘价格为研究对象，取其自然对数作为分析样本，分别用LNSH和LNSZ表示。样本区间为2011/1/1至2013/12/31/共725个交易日数据，样本序列图见图10-2。数据来源：国泰安数据库。研究两序列水平值及一阶差分值的单位根性质。•R代码演示如下：第一节收益序列间的共同趋势单位根检验案例分析图10-2上证综指(SH)和深证成指(SZ)样本序列第一节收益序列间的共同趋势单位根检验案例分析注：***、**、*分别表示在1%、5%和10%水平下显著。表10-2上证综指(SH)和深证成指(SZ)对数水平序列及差分序列的单位根检验•结果见表10-2，检验结果一致表明，LNSH和LNSZ为非平稳序列，其一阶差分序列平稳序列，从而LNSH和LNSZ为一阶单整序列，满足协整分析的前提。变量ADF检验PP检验KPSS检验LNSH-2.277-10.7587.451***LNSZ-2.654-14.5738.349***DLNSH-8.541***-714.916***0.073DLNSZ-8.583***-693.963***0.053第一节收益序列间的共同趋势协整与误差校正模型协整的概念•Engle等(1987)[5]首次提出协整概念，用以描述非平稳时间序列长期稳定的均衡关系，定义如下：记{Xt}表示m×1维向量时间序列，如果满足：1.Xt~I(d)，即{Xt}中每一分量都是d阶单整的；2.存在m×1维向量α，使得α´Xt~I(d-b)，b0；•则称{Xt}的各个分量存在(d,b)阶协整关系，记为Xt~CI(d-b)，b0。α称为协整向量。第一节收益序列间的共同趋势协整与误差校正模型误差校正模型•误差校正模型具有单方程和系统方程两种形式。系统方程误差校正模型建立在向量自回归模型的基础上，称为向量误差校正模型（VECM）。•单方程的误差校正模型：考虑一阶单整时间序列{Xt}和{Yt}，Xt={1,Xt1,Xt2,…,Xtm}´，若{Xt}和{Yt}存在协整关系，建立误差校正模型(10.21)第一节收益序列间的共同趋势协整与误差校正模型误差校正模型•向量误差校正模型：•考虑一阶单整的向量时间序列{Xt}，给定初始值为{X-k+1,X-k+2,…,X0}将其表示为k阶向量自回归形式：(10.22)•假设{Xt}为协整系统，对{Xt}进行差分，建立长期形式(long-runform)误差校正模型(10.23)式中，第一节收益序列间的共同趋势协整与误差校正模型误差校正模型•或者短期形式(transitoryform)误差校正模型(10.24)式中，•从式(10.22)VAR模型到式(10.23)、式(10.24)VECM模型的变换称为协整变换。第一节收益序列间的共同趋势单方程协整关系的估计与检验Engle-Granger两步法•Engle等(1987)[5]提出的EG两步法是最常用的单方程协整建模方法，在R软件中主要通过单位根检验函数及最小二乘回归函数lm()实现，具体步骤如下：–步骤1：协整关系的估计与检验；–步骤2：误差校正模型的建立。第一节收益序列间的共同趋势单方程协整关系的估计与检验案例分析•例10-5：模拟生成收益序列{Xt}和{Yt}，进行E-G协整建模。•R代码演示如下：•第一步是检验协整关系。利用OLS法得到的协整回归方程该方程通过了回归系数及回归方程的显著性检验。•第二步是建立误差校正模型。估计结果为该方程通过了回归系数及回归方程的显著性检验。第一节收益序列间的共同趋势单方程协整关系的估计与检验案例分析•例10-6：研究中国股票市场间的协整关系，选取例104中样本数据为研究对象，其中LNSH、LNSZ分别表示样本区间内上证综指、深证成指价格的自然对数。根据例104的结论，LNSH和LNSZ为一阶单整序列，满足协整分析的前提。下面对LNSH和LNSZ进行协整建模。•R代码演示如下：第一节收益序列间的共同趋势单方程协整关系的估计与检验案例分析•运行结果表明，通过最小二乘回归得到LNSH和LNSZ的协整回归式为(10.36)观察检验p值，发现该方程通过了回归系数及回归方程的显著性检验。•误差校正模型为观察检验p值，得出误差校正模型通过了回归系数及回归方程的显著性检验。第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验系统方程协整向量的估计•协整向量的估计，重点是对影响矩阵∏进行估计，它反映了{Xt}的长期均衡关系和短期动态调整速度。•根据Granger表现定理，若{Xt}存在r个协整关系，则有rank(∏)=r，并且∏可以分解为∏=rα´，其中r和α´分别为m×r维参数矩阵，r为误差校正系数矩阵，α称为协整向量矩阵。第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验系统方程协整向量的估计•针对0rm情形，给出长期误差校正模型(10.37)•影响矩阵的估计方法，步骤如下：–步骤1：对进行OLS回归，获取残差序列，记为。–步骤2：对进行OLS回归，获取残差序列，记为。–步骤3：再对与进行回归，回归模型为(10.38)第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验系统方程中协整关系的检验•协整检验就是通过极大似然估计来检验协整的秩。•由于{Xt}存在协整关系时，协整的秩等于影响矩阵∏的秩，而影响矩阵∏的秩等于矩阵中非零特征根的个数，因此可以通过判断影响矩阵∏非零特征根的个数，来确定协整关系的个数。•Johansen(1990)[9]基于似然比检验构造了两种形式的检验统计量，一种是迹（trace）统计量；一种是最大特征根统计量。第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验变结构协整•杨宝臣等(2002)[11]将协整概念扩展到变结构领域，提出变结构协整的思想。•Lütkepohl等(2004)[12]基于Johansen协整理论研究一类带有水平结构变化的向量误差校正模型，模型形式如下:假设{Xt}、{Yt}是m维向量时间序列，且{Yt}中包含截距项、趋势项及水平变换项，即(10.44)式中，dtτ为虚拟变量。第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验变结构协整•对式(10.44)中模型进行变结构协整建模，步骤如下：–步骤1：未知时刻突变点的估计。–步骤2：系统协整秩的检验。第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验案例分析•例10-7：模拟生成三个收益序列，进行Johansen协整建模。•R代码演示如下：•可以得出，估计的误差校正模型为第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验案例分析•例10-8：研究中国与世界股票市场间的联动关系，选取上证综指、纳斯达克指数、金融时报指数、日经指数的日收盘价为研究对象，取其自然对数作为分析样本，分别标示为：LNSH、LNND、LNLD、LNRJ，样本区间为2002/1/4至2012/4/5，剔除非同步交易、节假日等因素影响，得到2190个交易日数据，样本序列图见图10-3。数据来源：锐思（resset）数据库。•R代码演示如下：第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验案例分析图10-3样本时间序列图第一节收益序列间的共同趋势系统方程协整关系的估计与检验案例分析•Valuesofteststatisticandcriticalvaluesoftest:•可以看出，当原假设为r=1时，检验统计量33.08在5%显著水平下大于临界值28.45，拒绝原假设；而原假设为r