SARS模型

一、问题的重述SARS作为21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来很大影响，同时也给人们许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。现在的问题是针对SARS的传播建立数学模型，要求如下：（1）对题目中所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立自己的模型，并比较它与题目提供模型的优劣；对建立一个真正能够预测且能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，提出建议，并指出难点所在；另外对卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。问题二要求建立SARS传播模型。一个健康人被传染过程为：健康人潜伏类人病人退出者（包括死亡者和治愈者）通过分析各类人之间的转化关系，建立微分方程模型。在SARS传播过程中，政府的干预起较大作用，以政府采取措施控制疫情的时刻0t作为分割点，分别考虑0t前后两阶段，称之为控制前阶段和控制后阶段。疫情发展规律主要由日接触率t制约，在不同的阶段t的影响因素不同。控制前，因按自然传播规律传播，故t可视为常量；同时，在疫情初期，人们的防范意识比较弱,再加上非典自身的传播特点,在许多地区出现一个病人传染很多人的现象,即“超级传染事件”(SSE事件)[1]；随着人们防范意识的增强,SSE事件发生的概率减小,因此SSE事件在非典的发展早期起着重要作用。而SSE事件作为超级传染事件，特性在于在较短的时间内，即可使传染者数目增幅较大。因此可将SSE事件对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。控制后，)(t受人们防范意识的影响，而引起人们防范意识变化的原因主要有两方面，一方面来自因对疫情的恐慌而迫使人们自身加强防范意识，用警惕指标th来刻划，另一方面由于政府政策，法律法规的颁布等而加强的防范意识，用政府措施力度tg来刻划。而th与tg又分别为疫情指标的函数，先定性分析确定各因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨识确定其中的参数。3．1模型的假设⑴由于SRAS的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率⑵平均潜伏期为6天[2]⑶处于潜伏期的SARS病人不具有传染性[2]⑷提供的北京统计数据真实可信3．2符号说明0t从最初发现非典患者到政府采取防御措施的时间间隔N总人口数t)(St时刻健康人数占总人数的比例t)(It时刻感染人数占总人数的比例tEt时刻潜伏期的人数占总人数的比例tQt时刻退出类的人数占总人数的比例日发病率系统退出率t日接触率，表示每个病人平均每天有效接触的人数tf疫情指标tg政府措施力度th警惕指标tw防范意识问题二SARS传播模型4．1模型建立：由问题的分析，将人群分为健康人类S，潜伏类E，病人类I，退出类Q四类，之间的转化关系为：健康人类S与潜伏类E的转化：健康人和病人有效接触成为潜伏类，因每个病人平均每天有效接触的健康人数为St)(，NI个病人平均每天共能使SNIt)(个健康人成为潜伏类。所以SNIdtdSN即SIdtdS潜伏类E与病人类I的转化：表示潜伏期日传染率，潜伏类人的变化等于健康人的变化减去病人的变化,NE发病NI退出NSIt)(传染健康人类S潜伏类E病人类I退出类Q即：EItSdtdE由假设2，每一位处于潜伏期的人每天将以61的概率转化为病人类I[4]，即61病人类I与退出类Q的转化：表示退出系统的比率，单位时间内退出人的增加等于病人的减少，即:IdtdQ综上，我们建立了这个系统的转化过程，以下我们从将疫情传播过程分为控前阶段和控后阶段建立模型。4．1．2控前阶段：按自然传播规律传播参数确定：t在传播的初期，SARS按自然传播规律传播，)(t保持不变，记此常量为0，0具体取值在模型求解中通过参数辨识得到由资料[5]008.0超级传染事件（SSE）的处理：定义脉冲函数：elsexxxxx021000函数：000limxxxx由问题的分析，将SSE事件对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为，且仅会对miiittNIStdtdS1miiittNEItSdtdE1其中，m为所加函数的个数，在实际中为SSE事件的个数；i为第i个函数的强度，据资料[1]显示，每例SSE事件的平均感染人数为20人。综上我们建立了控前阶段的模型：0000110,0,0,01QQIIEEsSQIESIdtdQIEdtdIttNEItSdtdEttNIStdtdSmiiimiii其中0S，0E，0I，0Q为系统中各类的初始值。4．1．3控后阶段：疫情指标tf的确定影响疫情指标因素主要是每日新增死亡人数)(td、新增确诊人数)(tb、新增疑似病例数)(tv。对这三个因素归一后求加权和得到：tvtvqtbtbqtdtdqtfmax))(max(max)(3210其中，tf0为离散数据；321,,qqq依次为)(td,)(tb,)(tv对疫情指标的相对影响权重，且1321qqq。考虑到人们对三类新增人数的敏感程度，2.0,4.0,4.0321qqq。由于统计得到的数据均为离散的,为得到tf0关于时间t的连续变化,采用最小二乘法拟合,得到tf的表达式。从离散点看出，其大致呈韦伯分布函数的形状，故用0)(10xvtmmevtxmtf进行拟合，由题目提供的北京市数据可得：3530.14,1578.1,3449.20xvm其离散的tf0与拟合后的tf的图像见图二图二疫情指标的拟和曲线与实际数据比较图图二图三由图象可以看出二者由较好的拟合度，则拟合后的tf可用来定量描述疫情指标随时间的变化关系。政府措施力度tg的确定疫情的发展对经济、社会造成一定的影响，政府必会采取措施削弱其影响；同时，政府须根据以往的疫情采取相应的措施，所以，政府力度tg为以往疫情的平均值)(tf的函数（tiifttf01)(），分析实际情况tg应满足以下性状：1)0tt时，tg有一个初始值，即为潜在的政府力度1000kk；2)tg随tf的增长而增长，开始增长较为缓慢，因为开始疫情的蔓延不足以使政府的重视程度提高很快；但疫情发展到一定阶段后政府对疫情的蔓延变得敏感起来；后期，政府力度已较高，随疫情指标的增长变化较慢；3)当tf趋近于1时tg趋于1。综合性质1）2）3），tg随tf变化的曲线，形态如图三所示（横坐标为tf，纵坐标为tg，刻度没有意义，仅表示形态），故使用1110)(1012kkekktgtf来刻画政府措施力度根据北京实际，取8.0,2.010kk；计算得到58.00tf时，取7.00tg，可计算出1803.01警惕指标th的确定人们对SARS的警惕程度随疫情的变化而变化。政府公布疫情初期，疫情的变化引起人们很大的关注，警惕程度随疫情的微小变动波动很大；中后期，波动逐渐变缓直至平稳。th与tf的关系定量为：tfekkth32图三其中根据0tf时，2.0th（0.2为人们固有的警惕指标）；当tf时，1th。可得8.0,132kk。防范意识tw的确定由问题分析，防范意识tw受政府措施力度tg和警惕指标th的影响，tw随tg的增大而增大，随th的增大而增大，且tg,th对tw的影响作用大致相当，取thtgtw5.05.0。防范意识tw与日接触率t的关系t表示每个病人平均每天有效接触的人数，由问题的分析知，传染系数t是防范意识tw的函数，且应满足以下性质：（1）当防范意识tw为零时，)(t取最大值---控制前日接触率；（2）随tw的增大，传染系数)(t减小。tw不强时，对)(t的变化所起的作用较小；tw超过一定值时，对)(t的影响效果较明显；（3）当tw趋近于1（不可能为1）时，)(t趋近于0由上三点确定的t随tw变化关系的曲线形态，采用函数)1()(22))(1(4twekt刻画此形态。其中，2待定。综上，控后阶段建立的模型为：图四新增确诊人数的实际值于计算值的比较图0000))(1(40,00,01)1()(22QQIIEEsSQIESektIdtdQIEdtdIEItSdtdEIStdtdStw4．2模型求解：由于模型无法得到解析解,所以将连续模型离散化再求解。在求解过程中,利用参数辨识的方法,即确保2ttbtb达到最小，进行求解并确定模型中待定的参数，其中tb表示t时刻实际的北京市新增确诊人数,tb表示由模型计算得到的t时刻北京市新增确诊人数。初始状态：北京人口总数N＝12,000,000人，3月31日北京市12例非典患者作为疫情初发，00,00,101.0/1205QENI（求解程序见附录一）tb与tb的关系如图四由图象可以看出tb与tb的走势大致相同，且值相差不大（注：开始的小高峰是SSE事件造成的）。另外，由参数辨识可以得到模型中未确定的两个待定参数28.0891,374.0205．1问题二的结果分析（对卫生部门采取措施的评价）采取严格隔离措施早晚的影响卫生部采取严格隔离措施，是在4月20日左右，我们对早5天或晚5天做了如图的对比图（图十）：从图中可看出，政府延后五天采取严格隔离措施时，日新增病例峰值为376例，提前五天时，日新增病例峰值为55例，可见日新增病例的峰值对政府采取严格隔离措施的早晚十分敏感，采取的措施越晚，疫情峰值越高，疫情周期越长。这对于指导非典工作具有重要意义，政府部门应该在实际工作中“早发现早隔离”，采取有效的隔离预防措施。政府采取措施的力度对疫情的影响政府措施力度)(tg反映了政府针对疫情所采取的力度，我们分别取5.0,7.0,9.0)(0tg，代入模型重新计算，得对比图如图十一从图中可看出，政府措施力度图十每日新增确诊人数随天数的关系图十一每日新增确诊人数占总人口中的比例随天数的关系越弱，曲线的拖尾越长，甚至会再次出现疫情小高峰的现象。当5.0)(0tg时，曲线出现了第二次峰值，这表示如果政府（卫生部）在疫情刚有所下降时，就过度的减小力度，将会使疫情发生反弹，引起第二次疫情峰值的到来。因此政府措施力度一定要持续，不能看到疫情有所缓和就放松警惕。北京的实际情况是7.0)(0tg所对应的曲线，可见卫生部实际上所采取的力度是比较危险的，很容易引起第二次峰值，因此卫生部的措施应该在加强一些。人们警惕程度对疫情的影响对突发性事件人们有个固有的警惕程度，对该固有警惕程度取0.1,0.2,0.3，代入模型重新求解，得对比图如图十二从图象中可看出，固有警惕程度越小，疫情曲线拖尾越长，甚至会发生二次高峰现象，图中给出了当警惕程度为0.1时，就出现了二次疫情高峰现象.卫生部号召我们要戒除陋习，改变生活习惯，就是为了使固有警惕程度增加，这样不仅可以使疫情不出现二次峰值，而且可以使疫情周期缩短，因此卫生部加强该项措施对减缓疫情是非常有效的。图十一图十二每日新增确诊人数占总人口中的比例随天数的关系