SARS疫情控制模型

第1页2003/6/9摘要SARS时疫对中国社会发展产生了重大影响，本论文以传统的微分方程为理论基础，以2003年6月以前的有关SARS的数据为参考资料，着重从数学的角度研究和预测其发展趋势，提出了控制前的自然传播模型和控制后的传播模型，重点分析了控后模型，并根据各参数对疫情的影响对北京、内蒙古、广东、香港四个SARS重点疫区的疫情作了详细的分析，并提出了应对SARS时疫的若干对策。最后针对微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。关键词：微分方程概率平均曲线拟合一.问题的提出2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，中国首当其冲，且受其影响最大。面对突如其来的灾害，中国人民在党中央和国务院的统一指导下，迅速展开了抗击SARS的顽强斗争。尽第2页管SARS作为一种时疫尚未过去，人类与SARS的斗争可能才刚刚开始，但SARS时疫对我国社会发展的影响迫切需要我们进行理性的思考，并为抗击SARS时疫并取得阶段性胜利提出有价值的建设性意义。二．数学模型的分析与建立分析与假设在SARS爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对病SARS毒传播的速度和危害程度认识不够,所以政府和公众并不以为然;当人们发现被感染者不断增加时,政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播规律可以分为三个阶段:I.控制前,接近于自然传播时的传播模式。II.过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。III.控制后,在介入人为因素之后的传播模式。但是，除了广东和香港地区外，内地的其他城市都是在SARS刚刚大肆传播就采取了很强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香港的情况虽然有一些不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区也可以用两个阶段即“控制前（包括控制力度不大的阶段）”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。另外,社会,经济,文化,风俗习惯等因素都会影响SARS的传播及最终的结果,但是,最直接的因素是:自由传染者的数量及其在健康人群中的分布,被传染者的数量,传播形式及病毒本身的传播能力等。在建立模型时不可能也没有必要考虑所有的因素,只能抓主要的因素进行合理的假设和建模。由此,我们作如下的假设:总体假设：国家卫生部提供的全国疫情统计真实可信。控制前(包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设1.将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。2.在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数,即认为本地区流入的人口与流入的人口数相等,时间以天为计量单位。3.设每个病人单位时间有效接触的人数(所谓“有效接触”是指病人与健康者接触时,足以使健康者受到感染而成为病人)可视为常数。4.根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。5.假设潜伏期为一常数(5天)。6.根据目前的医学调查资料，SARS康复者尚未复发情况，因为对于一个SARS康复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS传染源；从社会心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，我们可以假设一个SARS康复者二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者”。7.由于SRAS的传播时间不是很长(相比于传统的传染病,比如天花,麻疹等)，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由SARS引起的死亡人数,也将其归为“退出者”。第3页8.流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。9.将人群分为四类：健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例。处于潜伏期者：这些人还没发病，但他们最终将发病。用E表示他们在人群众的比率。病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例。退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例。控制后的传播模型的相关假设1.由于对人口流动加以了限制,我们假设此阶段无病源的输入和输出.2.由于SARS的治愈疗程迄今还没有确切的资料,而且每一天都有一批人被治愈,故我们在计算退出率时并没有考虑疗程的问题.3.被隔离的人群完全断绝与外界的接触,不再具有传染性.4.不考虑隐性非典患者，即只要感染上SARS病毒的患者最后都会表现出症状。5.不考虑被隔离而实际又未被感染者，因为这部分人没有自由活动，对疾病的传播（感染和被感染）基本不造成任何的影响。6.我们将人群分为五类:健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例.病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例.退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例.隔离者：指的是每天被病源传染的人中可控制的部分,它包括家人,同事,邻居以及能够通过调查追踪到的其他人.这些接触者将被有效隔离.用G表示他们在人群中的比例.未隔离者：无法追踪到的和传染源有直接接触的人.对于强化控制后的模型来说,病人和可控者皆被完全隔离,使病毒的进一步传播中断,所以,此时的不可控的人中带病毒者将成为社会上的流动病源.用W表示他们人群中的比例.模型的建立I控前模型的建立第4页由于控制以前公众和政府对疫情不甚重视，所以我们无法找到这一阶段的数据；而且，考虑到控制以前的模型和我们现在的实际情况不符，对我们分析和预测将来的疫情走向没有太大的实际意义，故对于控前的模型我们没有做太多具体的数值分析，只是给出了各个参数是如何得到的，而把重点放在了控后模型的建立上1．参数设定1——每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。q——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。l——（流入）流出人口占本地总人口的比率。1——处于潜伏期的病人的日发病率。P——流入人口中带菌者所占的比例。2．控前方程的建立根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：ISdtdS1（1）LELPEISdtdE11（2）qIEdtdI1（3）qIdtdR（4）0000,,,ERIS（初值）3．参数的确定1)1——根据医学资料和有关数据推导而得。2)q——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。3)l——由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。可查有关资料。第5页4)1——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。5)P——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。II控后模型的建立1．参数设定2——不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。q——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。β——接触病源的人的发病率。ε——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。2．控后方程的建立根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：(5)qIGdtdI(6)qIdtdR(7)GSdtd2(9)00000,,,,ERIS（初值）在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题:(1)该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。(2)从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。SdtdS2GGGSdtdG2(8)第6页从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定作了改动：我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者”，用Y和M分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：疑似者：所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。自由带菌者：不可控的病毒携带者。综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：III控后优化模型的建立1．参数说明1y——疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例；2y——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；——每个自由带菌者转化为病人的日转化率；2——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率；2．方程的建立MSYydtdS21(10)YyqIMdtdI2(11)qIdtdR（12）MSYyYydtdY221(13)MMSdtdM)1(2(14)00000,,,,MYRIS(初值)与前一个模型相比，此优化模型的优点在于：明确了疑似者所指的范围；基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值；第7页将2定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量；3．参数的确定鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的分析方法。1)1y——疑似者的日排除比例：计算公式：1y=当天疑似病例累计人数数每天新增的疑似排除人以北京为例说明：首先我们直观的观察一下y1的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的y1（见后面列表5），用matlab画图，如下图1所示：图1初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：（光滑的线为cubIc拟合曲线）图2第8页可以看出y1大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制初期市民有较恐慌的心理，导致疑似病例中非感染者比例较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。虽然三阶拟合能在一定程度上反映y1的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图3：图3其中，平直的线为lIneaR拟合直线。再用威布尔分布观察一下处理后的y1的值的分布情况，如图4所示：（对威布尔分布做解释）图4可以看出y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。2)2y——疑似转化为病例的日转化比：计算公式：2y=当天疑似累计人数确诊的人数每天新增的疑似转化为以北京为例同y1的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的y2（见后面的列表5）的变化趋势如下图5所示：第9页图5原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图6：图6从原始数据可以看出y2总的趋势是下降的，先用曲线拟合处理一下如图7：（光滑的线是y2的五阶拟合线）图7显然，y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者较多，还有一个较大的峰值。最后，我们依然用威布尔分布来观察一下y2的值的分布情况，如图8所示：第10页图8可以看出y2的值主要分布0.05%—2%之间，但是y2不同于y1的分布那么均匀，所以我们不能用一个有效值来取代y2的值。在这里，我们把y2的值分布人为划分为两个阶段值：2.229%和0.59%。如下图9所示，y2的两个有效值分布在中直线的两侧。图9从对y1与y2的数据处理来看，我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段：过渡期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期，所以在强化控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于非典潜伏期，这一部分人最终将转化为非典病人；且因为他们为自由带菌者，在被收治以前会传染较多的人；加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间，所以上述原因直接导致了过渡期的形成，其特征为：y2较大，q（退出率）较小。（有关q的分析见对q数据处理）3)q的计算公式=当天