[2012年上学期10级数学建模期末考试试题.]2

考查课程《考核方案》教学部门数学与应用数学系课程名称数学建模教学班级应数1001，1002信计1001考查时间第18周考场安排需要□不需要□√随堂考□考核方式试卷□过程评价□作业或调查□作品□√项目任务□考查内容一、简答题：（40分）1）通过数学建模选修课程的学习，请谈谈对数学建模的认识，学习数学建模课程的收获。（不少于500字）（30分）2）简要说明数学建模的一般过程或步骤。（10分）二、实战建模（60分）（在如下问题中任选一题做建模解答）,第1题传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？第2题线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。月789101112买进（元/件）282625272423.5售出（元/件）292726282525要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。第3题一阶常微分方程模型—人口模型与预测下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0t），1016540N万人，200000mN万人。年198219831984198519861987198819891990人口（万）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（万）115823117171118517119850121121122389123626124810要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。第4题送货模型：某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。要求：1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。图１唯一的运输路线图和里程数公司材料①②③④⑤⑥⑦⑧A41231025B15012423C52424351表１各公司所需要的货物量第5题生产与存贮模型：一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示:月份(k)：123456月需求量(bk)：853274单位工时(ak)：111813172010设库存容量H=9,开始时库存量为2,期终库存量为0。要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。第6题高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？第7题时间序列模型某一商场1—12月份的销售额（单位：万元）时间序列数据如下表所示。月份123456789101112实际销售额495355595051525251525359要求：（1）建立恰当的数学模型，并预测下年一月份（第13月）的销售额。（2）对所建立的几种预测方法作误差的分析与比较。第8题多元回归模型设某公司生产的商品在市场一的销售价格为1x（元/件）、用于商品的广告费用为2x（万元）、销售量为y（万件）的连续12个月的统计数据如下表所示。月份销售价格1x广告费用2x销售量y11005.50552906.30703807.20904707.001005706.30906707.351057705.60808657.151109607.5012510606.9011511557.1513012506.50130要求：（1）选择恰当的模型，建立销售量y关于销售价格1x和广告费用2x的关系模型。并利用MATLAB画出曲线图形。（2）设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件，广告费用为7万元，预计该商品的销售量将是多少？并对其作统计上的误差分析。第9题轿车更新问题某人打算购买一辆新轿车，轿车的售价是12万元人民币。轿车购买后，每年的各种保险费、养护费等费用如表1所示。如果在5年之内将轿车售出，并再购买新车，5年之内的二手车销售价由表2所示。请设计一种购买轿车的方案，使5年内用车的总费用最少。表1轿车的维护费车龄/年01234费用/万元245912表2二手车的售价车龄/年12345费用/万元76210【注】此问题的求解利用最短路方法或动态规划方法。第10题投入产出综合平衡分析设某地区国民经济系统仅由工业、农业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表所示（数字表示产值，单位为亿元）。表各个部门间的关系产出投入工业农业服务业外部需求总产出工业20202535100农业302045115210服务业1560/70145外部需求3511075总产出100210145要求：（1）建立投入产出系数表。（2）设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的数学模型。（3）如果今年对工业、农业和服务业的外部需求分别为150，250，170亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少？（4）如果三个部门的外部需求分别增加5个单位，他们的总产出应分别增加多少？（5）如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出，模型就称为可行的。问为使模型可行，投入系数应满足什么条件？第11题产销问题：某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。表1.产品需求预测估计值（件）月份1月2月3月4月5月6月预计需求量1000110011501300140013001月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。表2.产品各项成本费用原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资100元/人1.6小时/件12元/小时/人18元/小时/人（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。第12题抑制房地产泡沫问题近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1、建立一个城市房价的数学模型。并通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析，找出影响房价的主要因素；2.考虑西安市房地产市场，请给出房地产价格的合理区间为购房者理性地选择房屋提供参考。3、给出抑制房地产价格的政策建议；4、对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。第13题课程安排优化问题某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见表1），具体要求如下：1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上；2、可用排课教室数为3个（D1、D2、D3）；3、同一课程两次课之间至少相隔一天；4、每位教师每天上课不超过四节；5、周四下午全校政治学习，不安排上课。表1：课程周学时班级教师班级教师班级教师班级教师B14A1C1A2C1A3C1A4C1B24A1C2A2C2A3C2A4C2B36A1C3A2C3A3C4A4C4B42A1C5A2C6A3C5A4C6B54A1C5A2C6A3C5A4C6（1）请给出你认为比较合理的班级课程安排表；（2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解；（3）如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解。第14题．讨价还价中的数学：在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。对购物的消费者来说，从希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望λ1。这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家讨价还价？第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用黄金数方法