[Level2]2009年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷7

1[Level2]2009年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷7一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分共24分）1、)15)(45(1161111161611limnnn等于A、1B、61C、51D、412、设0,10,00,1)(xxxxf，则0x为)(xf的A、连续点B、无穷间断点C、可去间断点D、跳跃间断点3、直线521221zyx与平面034zyx的关系是A、直线与平面垂直B、直线在平面上C、直线与平面无公共点D、直线与平面相交于一点4、设yxz2，则dz等于A、xdyxdxxyyyln2·2212B、dyxdxxyyy2122·2C、dyxdxxyy222D、dyxdxxyy225、设区域（）为42≤22yx≤2，则)(2222cosdyxyx等于A、0B、2C、2D、36、级数12sinnnA、发散B、其部分和nS无界C、是交错级数D、收敛二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、函数xxxf11)(的定义域是2、曲线xxyln2的垂直渐近线是3、))1((dxxfd4、过点2,1,2且与直线211zyx垂直的平面方程为5、微分方程023yyy的通解为26、200xsinlimxtdtx三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、求2301coslim/xxx2、设0,00,1sin)(2xxxxxf　　　，求)(xf3、求dxxaxa22，)0(a.4、计算10arctanxdxx5、求方程011xydyyxdx满足10)(y的特解6、计算)(dxy3，其中（）是由直线xy,y2及y轴围成的三角区域7、判别级数1!2nnnnn的敛散性8、曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1、求心形线)a()cos(a01　　所围成的平面图形的面积2、求函数yxyxyxyxf22),(的极值五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）1、试证：当0x时，xex12、设2eabe，试证：2224lnln()babae.3[Level2]2009年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷7参考答案一、选择题1-6CDBACD二、填空题1、11,2、1x3、dxxf)1(4、072zyx5、xxeCeCy2216、21三、计算题1、02、)('xf000,1cos1sin2xxxxx（简单的分类讨论思想）3、原式Cxaxaxa2222)ln(4、原式2145、解：分离变量后得dyyydxxx)1()1(；由1)0(y知65C；特解为653231213232yyxx，即05)(3)(22233yxyx.6、重要式：3162412206202xx.7、解：121112lim12lim!2)1()!1(2limlim11ennnnnnnnxnxnnnnxx，由此可知所给级数收敛.8、分析：待求平面的法矢量为}1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定.详解：令22),,(yxzzyxF，则xFx2，yFy2，1zF.设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为}1,2,2{00yx，其与已知平面042zyx平行，4因此有11422200yx，可解得2,100yx，相应地有.520200yxz故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2zyx，即542zyx.四、综合题1、2022223224138)cos1(212aadaS2、12'yxfx，12'xyfy2''yyf，1''xyf，2''xxf；令012012''yxfyxfyx得驻点)1,1(在驻点)1,1(处有02,034142AACB故),(yxf在点)1,1(取得极小值1)1,1(f.五、证明题1、证明：设xexfx1)(，1)('xexf)(xf在,0上连续，在,0内0)('xf，因此)(xf在,0为单调递增，从而0x时，)0()(fxf由于0)0(f，故0)0()(fxf，即01xex亦即0x时，1xex.2、（致远提醒本题至少有三种证法，这里给出其中一种）证明：对函数2lnx在[,]ab上应用拉格朗日定理，得222lnlnln()baba,ab；设ln()ttt，则21ln()ttt，当te时，()0t,所以()t单调减小，从而2()()e，即222lnln2eee，故2224lnln()babae.