spfa算法详解

SPFA算法详解适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）首先建立起始点a到其余各点的最短路径表格首先源点a入队，当队列非空时：１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要入队，此时队列中的元素为c，d，e队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了最终a到g的最短路径为１４program：#includecstdiousingnamespacestd;structnode{intx;intvalue;intnext;};nodee[60000];intvisited[1505],dis[1505],st[1505],queue[1000];intmain(){intn,m,u,v,w,start,h,r,cur;freopen(c.in,r,stdin);freopen(c.out,w,stdout);while(scanf(%d%d,&n,&m)!=EOF){for(inti=1;i=1500;i++){visited[i]=0;dis[i]=-1;st[i]=-1;//这个初始化给下边那个while循环带来影响}for(inti=1;i=m;i++){scanf(%d%d%d\n,&u,&v,&w);e[i].x=v;//记录后继节点相当于链表中的创建一个节点，并使得数据域先记录e[i].value=w;e[i].next=st[u];//记录顶点节点的某一个边表节点的下标，相当于在链表中吧该边表节点的next指针先指向他的后继边表节点st[u]=i;//把该顶点的指针指向边表节点，相当于链表中的插入中，头结点的指针改变}start=1;visited[start]=1;dis[start]=0;h=0;r=1;queue[r]=start;while(h!=r){h=(h+1)%1000;cur=queue[h];inttmp=st[cur];visited[cur]=0;while(tmp!=-1){if(dis[e[tmp].x]dis[cur]+e[tmp].value)//改成大于号才对{dis[e[tmp].x]=dis[cur]+e[tmp].value;if(visited[e[tmp].x]==0){visited[e[tmp].x]=1;r=(r+1)%1000;queue[r]=e[tmp].x;}}tmp=e[tmp].next;}}printf(%d\n,dis[n]);}return0;}