[初二]竞赛专题选讲之奇数偶数

1初中数学竞赛专题选讲奇数偶数一、内容提要1．奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。如果n是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。2．奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：整数ìïïíïïî奇数偶数或整数集合这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3．奇数偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。二、例题例1求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数∴4k(k－1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数例2已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0求证：n是4的倍数证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn根据题意得1231230nnxxxxnxxxxì=ïïíï++++=ïî①②如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，偶数集奇数集2而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。所以n是4的倍数。例3己知：a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，∴方程ax2+bx+c=0没有整数解(以上的证明方法是反证法)例4求方程x2－y2＝60的正整数解解：(x+y)(x－y)=60，60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数因此x,y必湏是同奇数或同偶数，且xy0,适合条件的只有两组230yxyx610yxyx解得1416yx28yx∴方程x2－y2＝60的正整数解是1416yx28yx三、练习1．选择题①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（）（A）15yx（B）86329yx（C）171653yx（D）256978yx2．填空：①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿3③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿⑤位n01100能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿3．任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4．试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由5．求证：两个連续奇数的平方差能被8整除6．试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7．求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解8．方程19x+78y=8637的解是()(A)9178yx(B)9284yx(C)9388yx(D)9181yx9.十进制中，六位数8719ab能被33整除，求a,b的值练习题参考答案1.①B，②D2.①210，②45，945③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数3.整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数4.∵左边2，10、都是偶数，x.y不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n6.任意两个奇数可设为2m-1,2n-17.∵两个整数的平方和5为，只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5可得四个方程组1,2,1,222,1,2,122yxyx，解得2,3,2,11,.1,.1,.1..yx48.(D)9.a=9，b=2；a=2，b=6；a=5，b=9。