[原创]2012年数学一轮复习精品试题第17讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2解析：cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k2k，故选B.答案：B2．已知1＋sinxcosx＝－12，那么cosxsinx－1的值是()A.12B．－12C．2D．－2解析：因为1＋sinxcosx·sinx－1cosx＝sin2x－1cos2x＝－1，从而由已知1＋sinxcosx＝－12得cosxsinx－1＝12.答案：A3．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－2解析：由cosα＋2sinα＝－5,①,sin2α＋cos2α＝1,②)将①代入②得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，cosα＝－55.故选B.答案：B4．若tanα＝2，则sinα－3cosαsinα＋cosα的值是()A．－13B．－53C.13D.53解析：由tanα＝2，则sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－13，选A.答案：A5．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2008)＝2－1，那么f(2009)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(2008)＝asin(2008π＋α)＋bcos(2008π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1，∴f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.答案：C6．已知sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα等于()A．1B．0C.12n－1D．不能确定解析：由sinα＋cosα＝1，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝1，cosα＝0，或sinα＝0，cosα＝1.∴sinnα＋cosnα＝1.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知tanα＝2，则(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝________；(2)2sin2α－3cos2α4sin2α－9cos2α＝________；(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sinα、cosα的一次齐次式，将分子、分母同除以cosα(∵cosα≠0)，然后整体代入tanα＝2的值．2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)注意到分子、分母都是关于sinα、cosα的二次齐次式，∵cos2α≠0，分子、分母同除以cos2α，有2sin2α－3cos2α4sin2α－9cos2α＝2tan2α－34tan2α－9＝2×4－34×4－9＝57.∴应填57.(3)要注意到sin2α＋cos2α＝1，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.应填1.3答案：(1)－1(2)57(3)1评析：这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式(即次数相同)的问题，解答这类“已知某个三角函数，求其余三角函数值”的问题的常规思路是：利用同角间的三角函数关系，求出其余三角函数值，这就需要根据m的取值符号，确定α角所在的象限，再对它进行讨论．这样计算相当繁琐，而在这里灵活地运用“1”的代换，将所求值的式子的分子、分母同除以cosnα，用tannα表示出来，从而简化了解题过程，我们应熟练掌握这种解法．更主要的是由此进一步领悟“具体问题、具体分析”的辩证思想方法．8．化简cos(－θ)cos(360°－θ)·tan2(180°－θ)－cos(90°＋θ)cos2(270°＋θ)·sin(－θ)＝________.解析：直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式＝－1.答案：－19．(2010·广州模拟)已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α＝________.解析：cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.答案：－1310．设α＝sin(sin2008°)，b＝sin(cos2008°)，c＝cos(sin2008°)，d＝cos(cos2008°)，则a，b，c，d从小到大的顺序是________．解析：∵2008°＝5×360°＋180°＋28°，∴a＝sin(－sin28°)＝－sin(sin28°)0，b＝sin(－cos28°)＝－sin(cos28°)0，c＝cos(－sin28°)＝cos(sin28°)0，d＝cos(－cos28°)＝cos(cos28°)0，又sin28°cos28°，∴badc.答案：badc三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．(2011·兰州模拟题)已知3cos2(π＋x)＋5cosπ2－x＝1，求6sinx＋4tan2x－3cos2(π－4x)的值．解：由已知得3cos2x＋5sinx＝1，即3sin2x－5sinx－2＝0，解得sinx＝－13(sinx＝2舍去)．这时cos2x＝1－－132＝89，tan2x＝sin2xcos2x＝18，故6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)＝6×－13＋4×18－3×89＝－256.12．(1)已知tanα＝3，求23sin2α＋14cos2α的值．(2)已知1tanα－1＝1，求11＋sinαcosα的值．解：(1)23sin2α＋14cos2α＝23sin2α＋14cos2αsin2α＋cos2α＝23tan2α＋14tan2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tanα－1＝1得tanα＝2，11＋sinαcosα＝sin2α＋cos2αsin2α＋cos2α＋sinαcosα＝tan2α＋1tan2α＋tanα＋1＝22＋122＋2＋1＝57.13．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15，(1)求sinA·cosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．分析：可先把sinA＋cosA＝15两边平方得出sinA·cosA，然后借助于A∈(0，π)及三角函数符号法则可得sinA与cosA的符号，从而进一步构造sinA－cosA的方程，最后联立求解．解：(1)∵sinA＋cosA＝15①∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，∴sinA·cosA＝－1225.(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，5可知cosA0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2425＝4925，又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，∴sinA－cosA＝75②∴由①，②可得sinA＝45，cosA＝－35，∴tanA＝sinAcosA＝45－35＝－43.评析：sinα·cosα与sinα－cosα，sinα＋cosα存在内在联系，即：sinα·cosα＝12[(sinα＋cosα)2－1]，sinα·cosα＝12[1－(sinα－cosα)2]．可“知一求二”．