[原创]2012年数学一轮复习精品试题第28讲等差数列

1第二十八讲等差数列班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()A．S7B．S8C．S13D．S15解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，∴3a1＋18d＝p，解a7＝13p.∴S13＝13×(a1＋a13)2＝13a7＝133p.答案：C2．等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()A．48B．49C．50D．51解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝13得d＝23，令an＝33＝13＋(n－1)×23，可解得n＝50.故选C.答案：C3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()A．2B．3C．4D．5解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4＝a3＋a52≤4，a4的最大值为4.故选C.答案：C4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则a5a3的值为()A.16B.13C.35D.56解析：∵{an}是等差数列，2∴a5a3＝a2＋a82a1＋a52＝S56(a1＋a5)×52×5＝56S5S5＝56，故选D.答案：D5．(2011·济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为()A．11B．19C．20D．21解析：∵a11a10－1，且Sn有最大值，∴a100，a110，且a10＋a110，∴S19＝19(a1＋a19)2＝19·a100，S20＝20(a1＋a20)2＝10(a10＋a11)0.所以使得Sn0的n的最大值为19，故选B.答案：B6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011等于()A．1003B．1005C．1006D．2011解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即3是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－728．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则a6b6＝________.解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论anbn＝A2n－1B2n－1求得．答案：6179．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．解析：∵f(x)＝12x＋2，∴f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2·2x＝12·2x2＋2x，∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋12·2x2＋2x＝1＋12·2x2＋2x＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝62，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝32.答案：3210．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝Snn2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a4－a2＝8，∴d＝4.4又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.∴Sn＝n＋n(n－1)2×4＝2n2－n，则Tn＝Snn2＝2－1n2.∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.∴M的最小值为2.答案：2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知：f(x)＝－4＋1x2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan，－1an＋1在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Tn＋1a2n＝Tna2n＋1＋16n2－8n－3，问：当b1为何值时，数列{bn}是等差数列．解：(1)由y＝－4＋1x2，点Pnan，－1an＋1在曲线y＝f(x)上，∴－1an＋1＝f(an)＝－4＋1a2n，并且an0，∴1an＋1＝4＋1a2n，∴1a2n＋1－1a2n＝4(n∈N*)．数列{1a2n}是等差数列，首项1a21＝1，公差d为4，∴1a2n＝1＋4(n－1)＝4n－3，a2n＝14n－3.∵an0，∴an＝14n－3(n∈N*)．(2)由an＝14n－3，Tn＋1a2n＝Tna2n＋1＋16n2－8n－3得(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，Tn＋14n＋1＝Tn4n－3＋1.5令cn＝Tn4n－3，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*，则Tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈N*，∴bn＝8n－7，n∈N*，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．12．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝13n(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)n＝2时，a2＝3a1＋32－1n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1＝13n(an＋t)－13n－1(an－1＋t)＝13n(an＋t－3an－1－3t)＝13n(3n－1－2t)＝1－1＋2t3n.要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－12，即存在t＝－12，使{bn}为等差数列．13．设f(x)＝axx＋a(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.(1)证明数列1an是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{bn}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．解：(1)证明：an＋1＝f(an)＝a·anan＋a＝11a＋1an，∴1an＋1＝1a＋1an，即1an＋1－1an＝1a.6∴1an是首项为1，公差为1a的等差数列．(2)由(1)知1an是等差数列，∴1an＝1＋(n－1)1a.整理得an＝a(a－1)＋n.(3)bn＝an·an＋1＝a(a－1)＋n·a(a－1)＋n＋1＝a21n＋a－1－1n＋a.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a21a－11＋a＋11＋a－12＋a＋…＋1n＋a－1－1n＋a＝a21a－1n＋a＝a2·n＋a－aa(n＋a)＝nan＋a.∴数列{bn}的前n项和为nan＋a.