[原创]知识要点总结之----高一数学前两章知识点总结

信诺教育数学培优版权所有高一数学讲义（一）集合：1.集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。2.元素的特征：①确定性②互异性③无序性3.集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法。（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。（3）韦恩图法：用封闭曲线表示集合的方法。4.元素与集合，集合与集合的关系：从属“”；包含“”。5．子集与真子集：（1）子集：数学表达式：若对任意BxAx，则BA（2）真子集：BA且存在AxBx但AB6．集合相等：如果集合A与B的元素都相等，则称A=B证明方法：若BA且AB，则A=B7．集合的运算：（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合；表示为：BA数学表达式：BxAxxBA且性质：ABBAAAAA,,（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合；表示为：BA数学表达式：BxAxxBA或性质：ABBAAAAAA,,（3）补集：已知全集I，集合IA，由所有属于I且不属于A的元素组成的集合。表示：ACI数学表达式：AxIxxACI且性质：,IACAI,ACAIAACCII)(，BCACBACIII)(BCACBACIII)(，BAABA，BABBA（二）简易逻辑：1.基本概念：命题，复合命题，逻辑联结词“或”“且”“非”，真值表，四种命题，等价命题，反证法，充分条件，必要条件，充要条件（充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件）。⒈基本原理：①复合命题的真假判断：“或”（一真即真）；“且”（一假即假）；“非”（与原命题相反）。②四种命题的形式：原命题——若p则q；逆命题——若q则p；否命题——若p则q；逆否命题——若q则p；（注意否命题与否定形式的区别）互为逆否的命题同真假③反证法：要证明若p则q为真，只要证明若q则p为真，根据②的原理。第一步：反设；第二步：归谬；第三步：结论。④若pq，则下面说法等价：若p则q为真，p是q的充分条件，q是p的必要条件，p的一个必要条件是q，q的一个充分条件是p。⑤充分，必要条件的集合观：若集合A真包含于集合B，（即AB且BA）则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件；若A＝B，则A是B的充要条件，B是A的充要条件1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合，，，、、AxyxByyxCxyyxABC|lg|lg(,)|lg中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。信诺教育数学培优版权所有如：集合，AxxxBxax||22301若，则实数的值构成的集合为BAa（答：，，）10133.注意下列性质：（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212aaann（）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律：CCCCCCUUUUUUABABABAB，4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352的取值范围。（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522MaaMaaa5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()“非”().若为真，当且仅当、均为真pqpq若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq若为真，当且仅当为假pp6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。映射与函数1.理解映射与函数的概念中要注意的几点：①映射的定义涉及两个集合A，B，它们可以是数集，也可以是点集或其他集合；这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；在映射BAf:之下，集合A中的任何一个元素在B中都有象，并且象是唯一的，否则，不能构成映射。例如：设A={0，1，2}，B={0，1，1/2}，对应关系“f”是“取倒数”，这时由于集合A中的元素0，在集合B中无象，所以集合A，B与对应关系f不能构成映射；②在构成函数的“定义域”，“值域”以及“定义域到值域上的对应关系”这三者中，最重要的是对应关系；函数符号y=f(x)中，f即表示对应关系。这个符号不表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式；2.已知函数解析式求函数定义域的主要根据：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；⑤零次幂的底数不为零；⑥三角函数中要注意正切、余切函数的定义域；⑦如果函数是由一些基本函数通过四则运算组合而成的，则它的定义域为各基本函数的定义域的交集.3.求函数解析式几种常用的方法：换元法、配凑法、待定系数法.4.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）函数的最值、值域和反函数【反函数】(1))(xfy.,CyAxx在定义域A上单调,则必有反函数.记作)()(1yfyx,一般对调.,yx改写成)(1xfy,.,AyCx信诺教育数学培优版权所有互为反函数,则定义域、值域互易,对应法则互逆,灵活应用.)()(1abfbaf(2))(xfy与)(1xfy互为反函数,且图象关于直线xy对称.(3)若),()(1xfxf则)(xfy的图象关于直线xy对称.(4)互为反函数的两个函数有相同的单调性,但定义域不一定相同.(5)设)(xfy定义域为,A值域为,C有反函数),(1xfy则,)]([1Cxxff.)]([1Axxff.【求值域、最值的基本方法和要求】1.常见函数的值域：2.求值域必先明确定义域;常用方法有：直接法(包括图象观察和基本初等函数的性质)、反函数法、分离常数法、配方法、函数单调性法、换元法和数形结合法等.3.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）4.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：，求fxexfxx1().令，则txt10∴xt21∴ftett()2121∴fxexxx()212105.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）6.反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()baffafbaffbfab111()()()()，函数的单调性和奇偶性（图像中应用）〖奇偶性〗1.定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有（1）f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；（2）f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数.2.奇偶函数的定义要把握两点：①定义域在数轴上关于原点对称；②)()(xfxf中有一式恒成立.3.断函数奇偶性的方法：（1）定义法（2）图像法（3）性质法4.奇、偶函数的性质：（1）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；（2）两个偶函数的和、差、积、商是偶函数（3）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；（4）奇函数的图像关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相同；（5）偶函数的图像关于y轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相反；（6）f(x)为偶函数（7）若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0指数函数和对数函数.116log5040321RRyyxyyyayyyxkyax正、余切函数的值域为，，为）正、余弦函数的值域；（的值域为）对数函数（；的值域为）指数函数；（的值域为）反比例函数（情况而定；）二次函数的值域要分单调性求解；（）一次函数的值域结合（)()(xfxf信诺教育数学培优版权所有幂的运算性质（注意：,,,abmn的取值范围）：01a，()nnnabab，()nnnaabb，nmmnaaa，nnmmaaa，()()nmmnmnaaa，mnmnaa，1nnaa2.对数运算：naananaaaaaaccbbaabNbNaNNaaMannMaMannMaNaMaNMaNaMaNMa1log1log...32log21log1logloglog)7(logloglog)6(log)5(log1log)4(loglog)3(logloglog)2(loglog)(log)1(推论：换底公式：naananaaaaaaccbbaabNbNaNNaaMannMaMannMaNaMaNMaNaMaNMa1log1log...32log21log1logloglog)7(logloglog)6(log)5(log1log)4(loglog)3(logloglog)2(loglog)(log)1(推论：换底公式：（以上1且0...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21）3.指、对数函数的定义，图象和性质：函数名称指数函数对数函数定义函数(0,1)xyaaa叫做指数函数函数log(0,1)ayxaa叫做对数函数定义域(,)(0,)值域(0,)(,)图象1a01a1a01ay10xy10xy01xy01x单调性在(,)上是增函数在(,)上是减函数在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况101010xxaxx101010xxaxx01log01001axxxx01log01001axxxx图象特征0xa，图象位于x轴上方01a，图象都经过(0,1)点0x，图象位于y轴右边log10a，图象都经过(1,0)点图象关系xya的图象与logayx的图象关于直线yx对称