[竞赛]2003年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

高中数学风云年全国高中数学联合竞赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A．2046B．2047C．2048D．2049答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是ABCD答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．316B．38C．3316D．38答（）4．若)3,125(x，则)6cos()6tan()32tan(xxxy的最大值是A．5212B．6211C．6311D．5312答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数229944yxu的最小值是A．58B．1124C712．D．512答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于A．23B．21C．31D．33答（）二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7．不等式|x|3－2x2－4|x|＋30的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|＝2:1，则三角形PF1F2的面积等于______________．得分评卷人得分评卷人yyyyxxxx高中数学风云．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且45log23logdbca，，若a－c＝9，则b－d＝．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设Mn＝{(十进制)n位纯小数naaa21.0｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则nnnTSlim＝_______．三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设23≤x≤5，证明不等式1923153212xxx．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝21＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2tsin2t＋Z2sin4t（t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15.一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a.拆叠纸片，使圆周上某一点A/刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2003年全国高中数学联合竞赛加试试卷一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知}103{}103{}103{444nml，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥1)1(212qq，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人PABCDQ高中数学风云年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。不要再增加其它中间档次．一．选择题：1．注意到452＝2025，462＝2116，∴2026＝a2026—45＝a1981，2115＝a2115—45＝a2070．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝2003，∴a2003＝a1981+22＝2026＋22＝2048．故选(C)．2．题设方程可变形为y＝ax＋b和12222byax，则由观察可知应选(B)．3．易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为xy3，因此，A，B两点的横坐标满足方程3x2－8x－16＝0，由此求得AB中点的横坐标340x，纵坐标340y，进而求得其中垂线方程为)34(3134xy，令y＝0，得P点的横坐标x＝316，即PF＝316，故选(A)．)6cos()342sin(2)6cos()32sin()32cos(1)6cos()32cot()32tan(.4xxxxxxxxy因为x∈]3,125[，∴]6,4[6,]32,2[342xx，因此)342sin(2x与)6cos(x在]3,125[上同为增函数，故当3x时，y取最大值6311．故选(C)5．由已知得xy1，故)49(3735122xxu，而)2,21()21,2(x，故当3249222xxx时有最小值512，故选(D)．高中数学风云．如图，过C作CE∥AB且CE＝AB，以△CDE为底面，BC为侧棱作棱柱ABF—ECD，则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的31．而△CDE的面积S＝21CE×CD×sin∠ECD，AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABF－ECD)的高，故23sin212ECDCDCEMNV，因此213121VV，故选(B)．二．填空题：7．由原不等式分解可得(|x|－3)(x2＋|x|－1)＜0，由此得所求不等式的解集为)3,215()215,3(．8．设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝5，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4．9．易得：A＝(1，3)，设5)7(2)(,2)(21xaxxgaxfx，要使BA，只需f(x)、g(x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f(1)≤0，f(3)≤0，g(1)≤0，g(3)≤0，由此推出－4≤a≤－1．10．由已知可得：dcba4523,，从而42)(,)(cdcaba，因此a｜b，c｜d．又由于a－c＝9，故9)()(42cdab，即9))((2222cdabcdab，故得：192222cdabcdab，解得32,12516,25dbca．故b－d＝93．11．如图，由已知，上下层四个球的球心A/，B/，C/，D/和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆⊙O/和⊙O为上下底面构成圆柱，同时，A/在下底面的射影必是弧AB的中点M．在△A/AB中，A/A＝A/B＝AB＝2．设AB的中点为N，则A/N＝3．又OM＝OA＝2，ON＝1，∴MN＝12－A/M＝48，故所求原来圆柱的高为284＋．12．∵Mn中小数的小数点后均有n位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法，故12nnT．又因在这2n－1个数中，小数点后第n位上的数字高中数学风云，而其余各位上数字是0或1，各有一半．故nnnnnnnS1012)1011(291)101101101(221112121∴181]101)1011(181[limlim1nnnnnnTS．三．解答题：13．解：∵(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd)≤4(a2＋b2＋c2＋d2)∴22222dcbadcba(当且仅当a＝b＝c＝d时取等号)5分取xdxcxba315,32,1，则192142)315()32()1()1(23153212xxxxxxxx15分∵xxx315,32,1不能同时相等∴1923153212＜xxx20分14．解：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则tcittbiitayix4224sin)1(sincos)21(2cos∴222422)1(2)1(sinsinsincoscxxxbxayttttx∴y＝(a＋c－2b)x2＋2(b－a)x＋a，0≤x≤1①又∵A、B、C三点不共线，故a＋c－2b≠0，可见所给曲线是抛物线段(如图)5分AB、BC的中点分别是D(2,41ba)，E(2,43cb)，∴直线DE的方程是)23(41)(cbaxacy②10分由①②联立得：0)21)(2(2xbca15分∵a＋c－2b≠0，∴210)21(2xx由于432141，∴抛物线与△ABC中平行于AC的中位线有且仅有一个公共点，此点的坐标为)42,,21(bca，对应的复数为ibcaz422120分高中数学风云．解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/(sin,cosRR)与点A重合，而折痕为直线MN，则MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜5分∴2222)()sin()cos(yaxRyRx即axaRyxR2)sincos(22210分∴22222222sincosyxRaxaRyxyx可得：)cos,(sin22)sin(22222222yxyyxxyxRaxaR∴222222yxRaxaR≤1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为22222)2()2()2()2(aRyRax≥1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(aRyRax＝1外(含边界)的部分．20分2003年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一．证