[高等代数(上)课外习题第一章多项式]

高等代数第一章多项式课外习题一、选择题1．在[]Fx里能整除任意多项式的多项式是（）。A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式D．不可约多项式2．设()1gxx是6242()44fxxkxkxx的一个因式，则k（）。A．1B．2C．3D．43．整系数多项式()fx在Z不可约是()fx在Q上不可约的()条件。A.充分B.充分必要C.必要D．既不充分也不必要4．下列对于多项式的结论不正确的是（）。A.如果)()(,)()(xfxgxgxf，那么)()(xgxfB.如果)()(,)()(xhxfxgxf，那么))()(()(xhxgxfC.如果)()(xgxf，那么][)(xFxh，有)()()(xhxgxfD.如果)()(,)()(xhxgxgxf，那么)()(xhxf（）5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（）A、若p(x)是f’(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式B、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)，f’(x)的公因式C、若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是))(),(()(xfxfxf的单因式6、关于多项式的根，以下结论不正确的是（）A、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根D、一个三次的实系数多项式必有实根7、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（）A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x)c≠0C、p(x)是任何数域上的不可约多项式8、设3()3fxxxk有重根，那么k=（）A、1B、-1C、±2D、09、设32()31fxxxtx是整系数多项式，当t=()时，f(x)在有理数域上可约。A、1B、0C、-1D、3或-510、令有理数域上的多项式542()25139fxxxx,下面只有哪个数可能是它的根()(A)2（B）3（C）5（D）7二、填空题1．最小的数域是。2．一非空数集P,包含0和1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为。3．设(),()[]fxgxFx，若(())0,(())fxgxm，则(()())fxgx=。4.求用2x除43()25fxxxx的商式为，余式为。5．设,ab是两个不相等的常数，则多项式()fx除以()()xaxb所得的余式为____6.设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。7.若1是52()1fxxaxax的重根，则a．8.已知12i为32()375fxxxx的一个根，那么()fx的其余根是．9.当t满足条件时，32()31fxxxtx有重根.10.若()(),()()gxfxhxfx，并且，则()()()gxhxfx。11.多项式()fx、()gx互素的充要条件是存在多项式()ux、()vx使得。12.设42()fxxxaxb。2()2gxxx，若((),())()fxgxgx，则a，b。三、判断题1.若整系数多项式()fx在有理数域可约，则()fx一定有有理根。（）2.若()px、()qx均为不可约多项式，且((),())1pxqx，则存在非零常数c，使得()()pxcqx。（）3.若()fx无有理根，则()fx在Q上不可约。（）4.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（）5.对于整系数多项式()fx，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么()fx不可约。（）6若()()hxfx，但()hx不整除()gx，则()hx不整除()()fxgx．（）7.设()()()hxfxgx，但()hx()gx，则()()hxfx．（）8.若是()fx的导数()fx的k重根，则为()fx的1k重根．（）9设()[]fxPx，且(1)(1)0ff，则21()xfx．（）10.在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的.（）11.多项式()fx有重根当且仅当()fx有重因式.（）12.设(),(),()[]fxgxdxPx且(),()[]uxvxPx，使得()()()dxuxfx()()vxgx，则()dx为()fx与()gx的一个最大公因式．四、计算与证明题1、求用2()2gxxx除4()25fxxx的商式和余式。2、求方程5432()378851fxxxxxx的所有有理根.3、已知12i为32()375fxxxx的一个根，求()fx的其余根。4.求多项式1)(143)(23234xxxxgxxxxxf与的最大公因式()dx，并求()ux，()vx，使得()()()()()dxfxuxgxvx。5.若3642(1)xxaxbxc，求,,abc的值。6．把5)(4xxf表成1x的多项式。7.若))(((|)1(2223xxgxfxxx,则)(|)1(xfx,)(|)1(xgx。8.令1212(),(),(),()fxfxgxgx都是数域F上的多项式,其中1()0fx且1212()()|()()gxgxfxfx,11()|()fxgx，证明:22()|()gxfx。9..若整数多项式()fx有根pq，这里(,)1pq，则()(1)qpf，()(1)qpf．10.设1))(,)((xgxf，试证：（1）1))()(,)((xgxfxf；（2）1))()(,)()((xgxfxgxf11、设是一个整系数多项式,证明:如果有一个奇数和一个偶数使得都是奇数,那么没有整数根.