[高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]

第九章欧氏空间一、判断题1、12,,,n是n维欧氏空间的一组基，矩阵ijnnAa，其中(,)ijija，则A是正定矩阵。()2、设V是一个欧氏空间，,V，并且，则与正交。()3、设V是一个欧氏空间，,V,并且(,)0，则,线性无关。()4、n维Euclid空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（）5、若T是正交变换，则T保持向量的内积不变（）6、度量矩阵是正定的（）7、正交矩阵的行列式等于1（）8、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）9、设A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。10、在欧氏空间V中，若向量与自身正交，则0.()11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.()12、若矩阵A为正交矩阵，则1AA.()13、设是n维欧氏空间V的正交变换，则在V的任意基下的矩阵是正交矩阵.()14、设21,VV是n维欧氏空间V的两个正交子空间，且21VVV，则21VVV。()15、对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。()二、填空题1、在欧氏空间3R中，向量(1,0,1)，(0,1,0)，那么(,)＝_________，＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A是一个正交矩阵，那么1A＝_________，2A＝_________．4、已知三维欧式空间V中有一组基123,,，其度量矩阵为110120003A，则向量12323的长度为。5、已知A为n阶正交阵，且|A|0，则|A|=.6、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为。7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。8、设1,0,0,1,0,0,1,1YX,则X与Y的夹角.9、若A为正交矩阵，则AA1；10、在n维欧氏空间V中,n级矩阵A是V的某个基的度量矩阵的充要条件是.三、选择题1、若线性变换与是（），则的象与核都是的不变子空间。.A互逆的.B可交换的.C不等的D.不可换的2、设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（）①若,,；②若；③若11,；④若0(,)，||||。3、欧氏空间3R中的标准正交基是（）①0,1,0;21,0,21;21,0,21；②；1111000012222(,,),(,,),(,,)③0,0,0;31,31,31;31,31,31；④1,1,1;1,1,1;1,1,1。4、设是欧氏空间V的线性变换，那么是正交变换的充分必要非充分条件是（）①保持非零向量的夹角；②保持内积；③保持向量的长度；④把标准正交基映射为标准正交基。5、A为n阶正交方阵，则A.A.为可逆矩阵B.秩A1C.0AD.1A6、若两个n阶方阵BA,是正交矩阵,则AB是()A.对称矩阵.B.相似矩阵C.正交矩阵D.BAAB7、下列说法正确的是().A.实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交;B.实对称矩阵A的属于相同特征值的特征向量必不正交;C.实对称矩阵A的所有特征向量都正交;D.以上都不对.8、)1(nn维欧氏空间的标准正交基().A.不存在B.存在不唯一;C.存在且唯一;D.不一定存在.9、若nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是（）。(A)TTAAAAE(B)1A(C)121212211naaa(D)02122122111nnaaaaaa10、若A是实正交阵，则下列说法不正确的是（）。(A)TTAAAAE(B)1A(C)1AA(D)A的列向量组为单位正交向量组.四、计算题1、把向量组1(2,1,0)，2(2,0,1)扩充成3R中的一组标准正交基.2、设123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)是R3的一个基，用正交化方法求R3的一组标准正交基。3、设123,,为V的基，且线性变换A在此基下的矩阵为111111111A（1）求A的特征值与特征向量；（2）A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得1TAT为对角形．4、已知R3的一组向量1=(1,0,0),2=(1,1,0),3=(1,1,1)。（1）证明1,2,3构成R3的一个基；（2）对其施行施密特正交化方法求出R3的一个标准正交基。5、已知二次型)0(2332),,(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换化为标准形23222152yyyf，求a的值．五、证明题1、设A，B为同级正交矩阵，且AB，证明：0AB．2、设A为半正定矩阵，且0A，证明：0AE．3、设n,,,21是欧氏空间V的一个基，是V中的向量，证明若njj,,2,1,0),(，则=04、设V是一欧氏空间,0是V中一固定向量,试证明:(1){|(,)0,}WxxxV是V的一个子空间;(2)dim1Wn.5、设是n维欧氏空间V的一个单位向量，定义()=,试证明：（1）为线性变换；（2）为正交变换；（3）存在V的一个标准正交基，使得关于这个基的矩阵具有形状100010001。6、321,,是三维欧氏空间V的一个标准正交基，试证：1.321332123211223122312231也是V的一个标准正交基。7、,,,21n都是一个欧氏空间的向量,证明:如果与每一个nii,,2,1,正交,那么0。8、设n,,,21是n维欧氏空间V中的一组向量，而),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mmmmmm证明：当且仅当0时m,,21线性无关。