sx1205从古典概率到现代概率

专题5从古典概率论到现代概率论一、前史1．帕乔利(L.Pacioli，约1445～1517，意大利）。1494年，帕乔利在他的《算术，几何，比及比例全书》中写道：假如在一个赌博中赢6次才算赢，两个赌徒在一个赢5次另一个赢2次的情形下中断赌博的话，那么总的赌金应该按照5与2的比分给他们两人。一般地，我们有下述“赌博中断问题”：两个赌徒相约赌若干局，双方各拿出相同数量的赌金，谁先胜s局谁就赢得全部赌金。但是，当一个赌徒胜a局（a＜s），另一个胜b局（b＜s）时，赌博因故中断，问应该如何分配赌金。帕乔利的解答初看似乎是合理的，但实际上是不对的。2．卡尔达诺(G.Cardano，1501～1576，意大利)。《赌博之书》(1539，出版于1663)。对于赌博中断问题，卡尔达诺懂得需要分析的不是已经赌过的次数，而是剩下的次数。在帕乔利的问题中，一个赌徒只需再赢一次就可以得到全部赌金，而另一个则需要连赢4次。因此，以后的赌博只有5种可能的结果，即第一个赌徒赢头一次、赢第二次、赢第三次、赢第四次，或者完全输掉。卡尔达诺认为，总赌金应该按(1＋2＋3＋4):1＝10:1的比例来分配。他这个解法的出发点我们并不清楚，正确结果是15:1.卡尔达诺还讨论了点问题：掷两颗或三颗骰子时在一切可能的方法中有多少种方法得到某一总点数。卡尔达诺在这本书中还断言：在抛掷硬币的试验中，每次出现正面或反面虽属偶然，但在大量重复试验中，出现正面（对称地，出现反面)的频率却必然地接近于定数1／2.这是大数定律的雏形。他得到的另一个结果是：在n次独立事件中，如果事件本身的概率是p，那么它连续发生n次的概率是pn.3．伽利略(GalileoGalilei，1564～1642)伽利略曾讨论如下问题：掷三颗骰子，其和为9与10的组合各有6种:9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋310＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋2＋6＝2＋4＋4＝2＋3＋5＝3＋3＋4但为什么出现10的情况会比出现9的情况多呢?经过详细的计算他发现，在216种情况中，有25种的和是9，而有27种的和是10，因此出现10的机会比出现9的机会大些。实际上，3,3,3的组合只能由一种方式得到，而3,3,4的组合却可以由三种方式得到：3,3,4；3,4,3；4,3,3。二、17～18世纪：概率论的创立与发展1．帕斯卡和费尔马帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法国），费尔马（P.deFermat，1601～1665，法国）。1654年，帕斯卡的一位朋友梅雷(ChevalierdeMere)向他请教赌博中断问题的解法。梅雷是一位颇具数学天赋的赌徒，他能够解决点问题，但对赌博中断问题束手无策。帕斯卡认为这是一个颇为有趣的问题，不仅使用排列组合方法给出了正确的答案，而且将自己的解法写信告诉了费尔马。费尔马很快回信，用另一种方法正确地解答了这个问题。现在看来，两人的解答仅在细节上有所不同，在基本原理上是一致的。帕斯卡和费尔马在他们1654年的具有历史意义的通信中还思考了与点问题有关的一些其他问题，例如当赌博在多于两个人的技巧不同的情况下进行时，赌注的分配问题。他们的通信从对一些特殊问题的解答中归纳出了一批范围广泛的结论，并且在一定程度上揭示了一般方法，这些工作标志着作为一门数学分支的概率论的诞生。从概率论的初创阶段直到19世纪，“等可能性”一直是一个基本而核心的概念，它指的是每个简单事件具有相同的概率。人们对这一性质的认识经历了相当曲折的过程，最终用概率测度概念取代了它。2．惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷兰)1655年7月至12月，惠更斯在巴黎结识了不少法国学术界名流，并由此了解到了当时法国的学术动态，特别是从米隆(Mylon)及罗伯瓦尔(Roberval)那里得知帕斯卡与费尔马在讨论概率问题。其后，惠更斯就在概率论方面进行了研究，写成了第一篇关于概率论的正式论文：《论赌博中的推理》(1657)。数学期望：如果p表示一个人获得一定金额s的概率，则sp称为他的数学期望。3．雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）：《猜度术》（出版于1713年）雅各·伯努利对概率论的研究开始于17世纪80年代，并在《猜度术》中作了详细的论述。在他的手稿中也有这方面的部分研究内容。《猜度术》的主要内容有：①关于惠更斯《论赌博中的推理》的一个精彩评注。②对排列组合理论的深入研究。论述了求解机遇游戏问题的独特的数学方法。引入了伯努利数。这一部分以F.vanSchooten(1615～1660，荷兰)(1657)、Leibniz(1666)、Wallis(1685)等人的有关工作为基础，给出了关于指数级数的严格推导。③将排列组合理论运用于概率论，给出了“机会对策”中所产生的许多新问题的解答，共有24个例题。④概率论在法律和经济等问题上的应用。⑤伯努利大数定律(大数定律的最早形式)，这是占据《猜度术》全书中心位置的结果，被称为“主命题”，是概率论中的第一个极限定理。雅各·伯努利考虑的是最简单的情形，即在整个试验序列中，某个给定事件出现的概率始终保持为常数。大约在1687～1689年间，他在自己的学术日记中叙述并证明了他的主命题，但在生前一直未能发表。书中还讨论了这样一个问题：A、B二人玩一颗骰子，规定A若掷出6点就算胜，B若掷出7点就算胜。A先掷一次，然后B掷两次，然后A再掷两次，如此继续，直到其中一人获胜为止。问二人获胜的相对机会各如何。雅各·伯努利证明了A与B的获胜机会之比为10355／12276.接着，他研究了投几颗骰子时要求所得总点数之和等于m，这种情况的数目等于(x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)n中依x方幂展开时xm的系数。这已含有母函数的意义了。4．德·莫弗尔(DeMoivre，1667～1754，法国)⑴《论抽签的原理》(1711年发表于《哲学学报》)⑵《机会论》(1718，1738，1756)：二项分布；斯特灵（Stirling）公式；正态分布；DeMoivre-Laplace中心极限定理(概率论中第二个基本极限定理的原始形式)；弱大数定律（伯努利大数定律）；概率积分；正态频率曲线。书中还首次阐明了统计独立的意义。这部著作大大推进了由帕斯卡、费尔马和惠更斯开创的古典概率论的研究。1725年左右，德·莫弗尔就考虑过多次重复试验中的预期概率问题。1733年他给出解答：在n次试验中，获得m次成功（即某一特定事件出现）的概率，是通过(a＋b)n的表达式中含有m次的那一项(即第m＋1项)表示出来的，亦即n次试验中某一事件出现m次的概率为mnC·am·bmn＝)!(!!mnmn·am·bmn其中，a是某一事件出现的概率，而b＝1－a.这样，德·莫弗尔就得到了二项分布。《机会论》在对持续赌博问题的研究上取得了明显的进步，给出了较清晰的组合公式，使用了不同的方程，用循环序列来解决问题，并且在用正态逼近来说明问题时使用了函数，成为拉普拉斯用分析方法研究概率论的先导。⑶《分析杂论》(1730)给出了对很大的n，关于n!的近似公式n!～(n／e)n√2πn.这个公式现在一般被称为斯特灵公式或斯特灵逼近。历史事实是，德·莫弗尔首先得到n!～C21nnen，他知道常数C是一个无穷级数之和的极限，但却没能求出C的值。后来，他的朋友斯特灵(J.Stirling)利用他的发现作了进一步的探讨，求出了C＝√2π.毫无疑问，斯特灵公式的最重要的工作属于德·莫弗尔。利用n!～(n／e)n√2πn，德·莫弗尔考虑了二项分布(a＋b)n从任意一项至中心项的总和，结果发现二项分布C·am·(1－a)mn的极限式将呈现一种新的形式，所得结果即正态分布。5．贝叶斯(ThomasBayes，1702～1761)1763年,贝叶斯的朋友们印发了他的论文Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances.其中有三方面内容具有重要的历史地位：⑴将概率的概念和推理的方法、公式，由主要研究赌博中的问题，扩展和提高为处理一般科学问题的原理。为达到这一目的，他必须对概率的概念给出定义、计算的方法以及应用的例子。他在DeMoivre《机会论》的基础上发展了自己的观点：“5.任一事件的概率是这样的比值：一个是由于这一事件发生应计算的期望的值，一个是会发生的事情相应的值。6.我认为机会(chance)就是概率。”这里既对概率作出了定义和解释，也给出了计算概率的方法。但是，由于他没有解释概率的含义究竟是什么，后人可以对他的说法从不同的角度去理解，并给以相应的说明。⑵给出了著名的贝叶斯公式。贝叶斯公式通常用在下列实际问题中：设只可能出现H1，H2,…共有限或可数多种不同的情况，而事件A只能伴随这些情况之一发生。在A已经出现的条件下，求发生了情况Hm的条件概率。⑶提出了贝叶斯假设，即认为：当我们对参数θ的分布没有任何其他知识时，应认为θ在它的变化范围内是均匀分布的。贝叶斯假设后来引起了很大争议。实际上，贝叶斯假设和贝叶斯提出的计算概率的方法基于同一个看法，这种看法后来被拉普拉斯归结为“不充足理由律”：两个事件没有理由可以说它们有区别时，就应认为相同。从现代人的认识水平来看，不充足理由律和贝叶斯假设是难以接受的。假如对于二项分布中的事件发生的概率p事先并无其他知识可以确定其分布，同样地对√p也是如此，因而由贝叶斯假设，它们都将遵从(0，1)上的均匀分布，这就导致矛盾，因为如果p在(0，1)上均匀分布，√p就不可能在(0，1)上的均匀分布；如果√p在(0，1)上均匀分布，p就不可能在(0，1)上的均匀分布。这一点正是贝叶斯假设被人们怀疑的原因，后人猜测贝叶斯生前不发表他的论文，很可能是他自己也发现了这一问题而无法解决。6．几个重要问题⑴逆概率（inverseprobability）。最早由丹尼尔·伯努利(DanielBernoulli，1700～1782，约翰·伯努利之子)提出，即在已经某些结果的情况下推测出未知的原因。此后，英国数学家贝叶斯（ThomasBayes，1702～1761）进一步推动了有关问题的研究，建立了关于条件概率的Bayes公式。⑵彼得堡悖论。赌徒A先付给B一笔赌注，然后A扔硬币，如果出现反面，A就继续扔，直到出现正面时才结束。如果在第n次扔硬币时出现正面，B需付给A21n元。现在要问：为使赌博公平，A应当预付给B多少钱？根据概率知识，预付的赌注应当等于A将获得的期望值。但是计算一下，这个期望值等于∞∞∑(1／2n)·21n＝∑1／2＝∞n＝1n＝1于是出现了悖论。据说这个问题是尼克劳斯·伯努利(NiklausBernoulli，1687～1759)提出的，最初参加讨论的有约翰·伯努利(JohannBernoulli，1667～1748）和蒙莫尔(PierreRemonddeMontmort，1678～1719，法国数学家)。这个问题引起了许多数学家的讨论。丹尼尔·伯努利在彼得堡科学院的《评论》上发表了一篇有关这个问题的论文，其中首次将无穷小分析用于概率论，并引入了“道德期望”概念；在18～19世纪，这一概念有时被草率地用到社会生活问题之中。直到1925年，苏联数学家辛钦（1894～1959）才解释清楚由此造成的荒谬和困惑。实际上，这个赌博是无法公平的。⑶Bernoulli-Euler关于装错信封的问题。某人写了n封信，并且在n个信封上写下了对应的地址。把所有的信笺都装错的情况共有多少种？最早考虑这个问题的是尼克劳斯·伯努利(NikolausBernoulli，1687～1759)，后来，欧拉对这个问题发生兴趣，称之为“组合理论的一个妙题”，独立于尼克劳斯·伯努利给出了问题的解答:n'＝n!(1／2!－1／3!＋1／4－＋…＋(-1)n·1／n!)⑷秘书问题。A、B二人各有一桶编号从1到n的球，他们各从自己的桶内同时取出一球并不再放回，如此继续下去。如果有一次A、B取出的号码相同则A获胜；如果A、B每次取出