§1-3_1-4三角函数的有关计算导学案(含答案)

§1-3三角函数的有关计算学习目标1.经历用由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.学习重点1.用计算器由已知三角函数值求锐角.2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.学习难点用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.学习过程一、引入新课已知tanA＝56.78，求锐角A.（上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.）二、习题训练1.根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；(5)tanθ=22.3(6)sinθ＝0.6；(7)cosθ＝0.2（8）tanθ=3；(9)sinθ＝232.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.解：sinα＝1004=0.04，α＝2°17′33″.3.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.[例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20mm深19.2mm。求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)分析：根据题意，可知AB＝20mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.解：tanACD=2.1910CDAD≈0.5208∴∠ACD＝27.5°∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度。解：如图，在Rt△ABC中，AC＝6.3cm，BC=9.8cm，∴tanB=8.93.6BCAC≈0.6429.∴∠B≈32°44′13″.因此，射线的入射角度约为32°44′13″.小结：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.三、解直角三角形在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；(2)角的关系：∠A+∠B=90°；(3)边角关系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba；sinB＝cb，cosB＝ca，tanB=ab.由前面的两个例题以及上节的内容我们町以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决.四、随堂练习1.已知sinθ＝0.82904.∠θ＝（∠θ≈56°1″）2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m，求梯子与地面所成的锐角.解：如图.cosα＝45.2＝0.625，α≈51°19′4″.所以梯子.与地面所成的锐角约51°19′4″.五、课时小结本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.六、课后作业如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB＝15°，它们与雷达的距离分别为AC＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距离是多少千米?(精确到0.01千米)[过程]当从低处观测高处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为仰角.两机的距离即AB的长度.根据题意，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD.E、F为垂足，所以AB＝EF，而求EF需分别在Rt△AEC和Rt△BFC中求了CE、CF，则EF＝CF-CE.[结果]作AE⊥CD，BF⊥CD，E、F为垂足，∴cos16°＝80CE，∴CE＝80×cos16°≈80×0.96＝76.80(千米).∴cos15°=81CF，∴CF＝81×cos15°≈81×0.97＝78.57(千米).依题意AB=EF=CF-CE=79.57-76.80=1.77(千米).所以此时两机的距离为1.77千米.§1-4船有触礁的危险吗学习目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.学习重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.学习难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.学习过程一、引入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?二、探索新知（一）根据题意，画出图形（二）小组交流，分析题意1、货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由来决定。2、根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.3、通过上面的分析，我们已将实际问题转化成数学问题.根据题意，有已知条件：BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°（三）全班交流，写出解题过程解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=25tan55tan20≈20.79(海里).这样AD≈20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险.三、随堂练习如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)在Rt△ADC中，tan30°=ACCD，即AC＝30tanCD在Rt△BDC中，tan60°=BCCD,即BC＝60tanCD，又∵AB=AC-BC＝50m，得30tanCD-60tanCD=50.解得CD≈43(m)，即塔CD的高度约为43m.四、课堂小结五、作业1、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0lm)解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝ACAB，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地长BC＝4cos40°m.调整后,在Rt△ADB中，sin35°＝ADAB，则AD＝35sin40sin435sinABm.楼梯占地长DB=35tan40sin4m.∴调整后楼梯加长AD-AC＝35sin40sin4-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝DB-BC=35tan40sin4-4cos40°≈0.61(m).2、如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，sin40°=DBBC，BC=DBsin40°=5sin40°(m).在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).根据勾股定理，得DE=2222)40sin52(5BEDB≈7.96(m).所以钢缆ED的长度为7.96m.3、如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大小。(2)如果坝长100m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01m3)解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6m.在Rt△FDC中，DC＝8m.DF＝FC＝CD.sin45°=42(m).∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m).在Rt△AEB中，AE＝DF=42(m).tanABC＝262242424BEAE≈0.308.∴∠ABC≈17°8′21″.(2)梯形ABCD的面积S＝21(AD+BC)×AE=21(6+30)×42=722(m2).４、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(2≈1.4，3≈1.7)解：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD=21AB=21×20×16=160＜200，∴B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.AD=1603.AE=AD-DE=1603-120，∴401203160=3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.