2012年高三数学一轮复习资料第六章-数列第2讲--等差数列

-1-第2讲等差数列★知识梳理★1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差.⑵前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211.3.等差中项如果bAa,,成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；⑵中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；⑵在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd.⑶dmnaamn)(；banan(a,b是常数)；bnanSn2(a,b是常数，0a)⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；⑸若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；⑹当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.-2-★重难点突破★1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求nS最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.问题1：已知nm,且naaam,,,,321和nbbbbm,,,,,4321都是等差数列，则2313bbaa分析：问题转化为：在nm,插入若干个数，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式解答.解析：设等差数列naaam,,,,321和nbbbbm,,,,,4321的公差分别是21,dd则1132daa，14dmn，213mnaa，同理，得5223mndbb，2313bbaa25.⑵求“首末项和为常数”的数列的和，一般用倒序相加法.问题2：已知函数.424)(xxxf则①)32()31(ff；②)20092008()20092()20091(fff.分析：①可以直接代入计算，也可以整体处理；②寻找规律，整体处理.解析：xxxf424)(，经计算，得1)1()(xfxf，)20092008()20092()20091(fff100411004.★热点考点题型探析★考点1等差数列的通项与前n项和题型1已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知na为等差数列，20,86015aa，则75a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质【解析】方法1：154,156420598141160115dadaadaa2415474156474175daa-3-方法2：1544582015601560aad，241541520)6075(6075daa方法3：令banan，则38,45162060815bababa24384516757575baa方法4：na为等差数列，7560453015,,,,aaaaa也成等差数列，设其公差为1d，则15a为首项，60a为第4项.438203111560dddaa2442016075daa方法5：na为等差数列，),75(),,60(),,15(756015aaa三点共线2415204582060751560757560751560aaaaaa【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.题型2已知前n项和nS及其某项，求项数.【例2】⑴已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式dnaan)1(1求出1a及d，代入nS可求项数n；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出naa1，代入nS可求项数n.【解析】⑴设等差数列的首项为1a，公差为d，则3,186893111dadada7,663)1(231821nnnnnSn⑵124,363214321nnnnaaaaaaaa3423121nnnnaaaaaaaa40160)(411nnaaaa39780207802)(1nnaanSnn-4-【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质.题型3求等差数列的前n项和【例3】已知nS为等差数列na的前n项和，212nnSn.⑴求321aaa；⑵求10321aaaa；⑶求naaaa321.【解题思路】利用nS求出na，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.【解析】4.212nnSn，当1n时，1111211Sa，当2n时，nnnnnSSannn213)1()1(12)12(221，当1n时，1111213a，nan213.由0213nan，得213n，当61n时，0na；当7n时，0na.⑴27331223321321Saaaaaa；⑵)(10987632110321aaaaaaaaaaaa52)101012()6612(2222106SS；⑶当61n时，232132112nnaaaaaaaann，当7n时，)(876321321nnaaaaaaaaaaa.7212)12()6612(222226nnnnSSn【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【新题导练】1.已知na为等差数列，qapanm,（knm,,互不相等），求ka.【解析】nmkmqnkpankqanmqpnkaanmaakknknm)()(2.已知nS为等差数列na的前n项和，100,7,141nSaa，则n.【解析】设等差数列的公差为d，则23171414aad-5-101002)1(21nnnnSn.3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.【解析】设这5个数分别为.2,,,,2dadaadada则1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222daadadaadadadadaadada解得4,1da当4,1da时，这5个数分别为：9,5,1,3,7；当4,1da时，这5个数分别为：.7,3,1,5,94.已知nS为等差数列na的前n项和，10,10010010SS，求110S.【解析】方法1：设等差数列的公差为d，则100109950111049501001004510111dadada110109110211101110daS；方法2：2902)(90100111001110100aaaaSS1102)(1102)(110100111101110aaaaS.考点2证明数列是等差数列【例4】已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列.【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法.【解析】方法1：设等差数列na的公差为d，dnnnaSn)1(211，dnanSbnn)1(2112)1(2121111ddnandabbnn（常数）数列nb是等差数列.方法2：dnanSbnn)1(211，ndabn2111，dnabn)1(21121111222)1(21)1(21nnnbndadnadnabb，数列nb是等差数列.-6-【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：⑴定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；⑵中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列；⑶通项公式法：bknan（bk,是常数）na是等差数列；⑷前n项和公式法：BnAnSn2（BA,是常数，0A）na是等差数列.【新题导练】5.设nS为数列na的前n项和，)(NnpnaSnn，.21aa⑴求常数p的值；⑵求证：数列na是等差数列.【解析】⑴nnpnaS，21aa，111ppaa⑵由⑴知：nnnaS，当2n时，0))(1()1(111nnnnnnnaanannaSSa，)2(01naann，数列na是等差数列.考点3等差数列的性质【例5】⑴已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；⑵已知nS为等差数列na的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS.【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【解析】⑴11001122112)(116611111aaaaS；⑵方法1：令BnAnSn2，则nmmnBmnAnBmAmmBnAn)()(2222.mn，1)(BmnA，)()()(2nmnmBnmASnm；方法2：不妨设nmmnaanmaaaaaSSmnmmnnnnm2))((11321.211mnnmaaaa，-7-)(2))((1nmaanmSnmnm；方法3：na是等差数列，nSn为等差数列nmSnmmSmnSnnmmn,,,,,三点共线.)(nmSnmnnmSnmnmmnnmnm.【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.【新题导练】6.含12n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）.Ann12.Bnn1.Cnn1.Dnn21【解析】（本两小题有多种解法）2))(1(12112531nnaanaaaaS奇2)(222642nnaanaaaaS偶，nnaaaa22121nnSS1偶奇.选B.7.设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba.【解析】12652525514225143)12(2)12(7551212bannnnTSbannnn填1265.考点4等差数列与其它知识的综合【例6】已知nS为数列na的前n项和，nnSn211212；数列nb满足：113b，nnnbbb122，其前9项和为.153⑴求数列na、nb的通项公式；⑵设nT为数列nc的前n项和，)12)(112(6