Sybase_IQ非结构化数据解决方案

-1-第3讲等比数列★知识梳理★1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比.⑵前n项和公式：①当1q时，1naSn②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.3.等比中项如果bGa,,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2.4.等比数列的判定方法⑴定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列；⑵中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；⑵在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq.⑶),(Nmnqaamnmn⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；⑸若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列.★重难点突破★1.重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题；理解等比中-2-项的概念,掌握等比数列的性质.2.难点：利用等比数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题.⑴求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.问题1：已知等比数列na的前n项和1nnpS(p是非零常数),则数列na是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.非等差数列分析：先由nS求出na，再根据等差、等比数列定义作出判定.解析：1nnpS，)2()1(11nppSSannnn当,1p且0p时，na是等比数列；当0p时，na是等差数列，选C.⑵求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.问题2：若实数数列4,,,,1321aaa是等比数列，则2a.分析：本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式4122a，得.22a解析：4,,,,1321aaa是等比数列，4122a，得.22a又21,,1aa是等比数列，Raaa1221,1，22a.★热点考点题型探析★考点1等比数列的通项与前n项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知na为等比数列，162,262aa，则10a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法1：811622451612qqaaqaa1312281162469110qaqaa方法2：812162264aaq，13122811624610qaa方法3：na为等比数列13122216222261026102aaaaaa【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.-3-题型2已知前n项和nS及其某项，求项数.【例2】⑴已知nS为等比数列na前n项和，93nS，48na，公比2q，则项数n.⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11nnqaa及qqaSnn1)1(1求出1a及q，代入nS可求项数n；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.【解析】⑴由93nS，48na，公比2q，得532248293)12(111naannn.⑵方法1：设这四个数分别为dcba,,,，则363722cbbabdccab；方法2：设前2个数分别为ba,，则第43、个数分别为ab3736，，则)37()36()36(22abbabb，解得1612ba或481499ba；方法3：设第32、个数分别为cb，，则第1个数为cb2，第1个数为bc2，则20163622cbcbbccb或463481cb；方法4：设第32、个数分别为cb，，设第4,1个数分别为cacca22,2；方法5：设第43、个数分别为dc,，则设第2,1个数分别为cd36,37，则251620)36()37()36(22dccdccdc或.449,463dc【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.题型3求等比数列前n项和【例3】等比数列,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【解题思路】可以先求出10S，再求出4S，利用410SS求解；也可以先求出5a及10a，由10765,,,,aaaa成等比数列求解.-4-【解析】由2,121aa，得2q，102321)21(11010S，1521)21(144S，.1008410SS【例4】已知nS为等比数列na前n项和，13233331nna，求nS【解题思路】可以先求出na，再根据na的形式特点求解.【解析】212331)31(133331132nnnna，nnSnnn2131)31(32121)3333(2132即.432143nSnn【例5】已知nS为等比数列na前n项和，nnna3)12(，求nS.【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n项和公式的推导，采用错位相减法求和.【解析】nnna3)12(nnnS3)12(35333132，----------------①14323)12(3)32(3533313nnnnnS-------------②①—②，得14323)12()3333(232nnnnS63)22(3)12(31)31(923111nnnnn.33)1(1nnnS【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.【新题导练】1.已知na为等比数列，6,3876321aaaaaa，求131211aaa的值.【解析】设等比数列na的公比为q，6,3876321aaaaaa，23216545aaaaaaq，131211aaa；-5-2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为.【解析】设这个常数为x，则xxx100,50,20成等比数列，)100)(20()50(2xxx，解得45x，17418520545204550q.3.已知nS为等比数列na的前n项和，364,243,362nSaa，则n；【解析】3,12433151612qaqaaqaa或3,11qa，当3,11qa时，636431)31(1nSnn；当3,11qa时，nSnn36431)3(11无整数解.4.已知等比数列na中，21a，则其前3项的和3S的取值范围是.【解析】∵等比数列na中21a∴312321111Saaaaqqqq∴当公比0q时，3111123Sqqqq；当公比0q时，3111121Sqqqq，∴3,13,S5.已知nS为等比数列na前n项和，0na，80nS，65602nS，前n项中的数值最大的项为54，求100S.【解析】由0na，80nS，65602nS，知1q，.65601)1(,801)1(2121qqaSqqaSnnnn81821122nnnnnqqqSS，1q,又前n项中的数值最大的项为:5411nnqaa，321qa，.133,21001001Sqa考点2证明数列是等比数列【例6】已知数列na和nb满足：1a，4321naann，)213()1(nabnnn，其中为实数，Nn.⑴对任意实数，证明数列na不是等比数列；-6-⑵试判断数列nb是否为等比数列，并证明你的结论.【解题思路】⑴证明数列na不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列nb是等比数列，常用：①定义法；②中项法.【解析】⑴证明：假设存在一个实数，使na是等比数列，则有3122aaa，即,094949494)494()332(222矛盾.所以na不是等比数列.⑵解：因为21)1(3)1()213()1(11nanabnnnnn)14232()1(183)1(111nanannnnnnnbna32)213()1(321又)18(11b，所以当)(0,18Nnbn，此时nb不是等比数列；当)8(,181b时，由上可知)(32,01Nnbbbnnn，此时nb是等比数列.【名师指引】等比数列的判定方法：⑴定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列；⑵中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列.【新题导练】6.已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．证明：数列1{1}na是等比数列；【解析】121nnnaaa，111111222nnnnaaaa，11111(1)2nnaa，又123a，11112a，数列1{1}na是以12为首项，12为公比的等比数列.考点3等比数列的性质【例7】已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3.【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解.【解析】na是等比数列，nnnnnSSSSS232,,为等比数列，318236)60(5433nnSS.【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.【新题导练】-7-7.已知等比数列na中，36)2(,04624aaaaan，则53aa.【解析】na是等比数列，0na36)(36)2(2534624aaaaaa653aa.考点4等比数列与其它知识的综合【例8】设nS为数列na的前n项和，已知21nnnbabS⑴证明：当2b时，12nnan是等比数列；⑵求na的通项公式【解题思路】由递推公式0,,naSnn求数列的通项公式)(nfan，主要利用：)2()1(11nSSnSannn，同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a，且21nnnbabS，11121nnnbabS两式相减，得1121nnnnbaaba，即12nnnaba①⑴当2b时，由①知122nnnaa于是1122212nnnnnanan122nnan